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例5 沿边界，将Möbius带与D2粘合在一起，商空间就是P2．
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图3-14
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例3说明Möbius带是平环粘合外边界上对径点所得商空间．因此X是平环的外边界粘合对径点，内边界粘接一圆盘所得空间（图3-15）．如先粘接圆盘，则可看出X是P2．
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图3-15
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*2.4 关于商映射的一个定理
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设fi：Xi→Yi（i＝1，2）是映射．规定映射
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f1×f2∶X1×X2→Y1×Y2
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为（f1×f2）（x1，x2）＝（f1（x1），f2（x2））．显然，当f1和f2都满时f1×f2也满，当f1和f2都连续时f1×f2也连续．如果f1和f2都是商映射时，f1×f2是否也是商映射？一般地，这是不成立的．只有在一定的条件下才成立．
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定理3.3 设f：X→Y是商映射，Z是局部紧致的Hausdorff空间，id：Z→Z表示恒同映射，则
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f×id∶X×Z→Y×Z
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也是商映射．
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证明 记F＝f×id．它显然是连续满映射．只须验证商映射的条件（3），即当W⊂Y×Z使得F-1（W）是开集时，验证W是开集．任取（y0，z0）∈W，要证明它是W的内点．
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取x0∈F-1（y0），则（x0，z0）∈F-1（W）．因为F-1（W）是开集，所以有z0的邻域B，使得｛x0｝×B⊂F-1（W），即｛y0｝×B⊂W．由于Z是局部紧致Hausdorff空间，可不妨设B是紧致的（命题2.20中（2））．
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规定Y的子集V：＝｛y∈Y｜｛y｝×B⊂W｝，则y0∈V，并且V×B⊂W．如果f（x）＝y，则F（｛x｝×B）＝｛y｝×B，从而y∈V｛x｝×B⊂F-1（W）．规定U＝f-1（V），则U＝｛x∈X｜｛x｝×B⊂F-1（W）｝．
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由于B紧致，F-1（W）是开集，根据第二章§3中3.5的引理，∀x∈U，则｛x｝×B⊂F-1（W），有x的邻域Ux，使得Ux×B⊂F-1（W），即Ux⊂U．这样U是开集．由于f是商映射，V也是开集．于是（y0，z0）是V×B的内点，从而也是W的内点． ▎
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E1和I都是局部紧致的Hausdorff空间．以后我们常在Z＝E1或I的情况下应用此定理．
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习 题
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1．设f：X→Y和g∶Y→Z都是连续映射，使得gf是商映射，证明g也是商映射．
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2．设f：X→Y是商映射，B是Y的开集（或闭集），A＝f-1（B），则fA：A→B也是商映射．
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3．设X是Hausdorff空间，证明CX也是Hausdorff空间．
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4．设A是Hausdorff空间X的紧致子集，证明X/A也是Hausdorff空间．