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f（x，y，z）＝（x2－y2，xy，xz，yz）．
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证明
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13．证明由
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f（x，y）＝（cos2xπ，cos2yπ，sin2yπ，sin2xπcosπy，sin2xπsinπy）
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规定的映射f：I×I→E5的像瓶．
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设X，Y是两个集合，记X⊔Y为它们的无交并，即由X中元素和Y中元素构成的新集合．注意：即便X与Y是有公共点的，即有x∈X，y∈Y，使得x＝y，在X⊔Y中也要把x与y看作不同的元素．因此作为X⊔Y的子集，X与Y之交X∩Y＝∅．
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设（X1，τ1）与（X2，τ2）是两个拓扑空间，在X1⊔X2中规定拓扑τ＝｛U⊂X1⊔X2｜U∩Xi∈τi，i＝1，2｝．称｛X1⊔X2，τ）为（X1，τ1）与（X2，τ2）的拓扑和．两个拓扑空间X与Y的拓扑和记作X＋Y．
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设X与Y是两个拓扑空间，A⊂X，f：A→Y连续．在X＋Y中规定等价关系～，使得等价类为下面两种形式：
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（1）XA中的单个点；
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（2）｛y｝∪f-1（y），∀y∈Y．
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称商空间（X＋Y）/～为映射f的贴空间，记作Y∪fX．
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14．设i：S1→D2是包含映射，证明
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15．记规定为f（x）＝（x，0），∀x∈E1．证明：
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基础拓扑学讲义 [:1701040213]
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§3 拓扑流形与闭曲面
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3.1 流形
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球面、环面以及我们熟悉的其他曲面从整体上看比平面复杂多了，但是在局部上，它们每一点的近旁都有一块区域同胚于平面．这种特性使得我们可以在局部的范围内应用分析学工具对它进行研究．粗略地讲，具有局部欧氏特性的拓扑空间称之为流形．它是近代数学最重要的基础概念之一．它不仅在几何学科中占有重要地位，在分析学科和应用数学中也是重要研究对象．流形是比较复杂的概念，在不同的研究领域还要求它带有各种特殊的结构．下面定义的拓扑流形是最一般的流形．
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定义3.3 一个Hausdorff空间X称为n维（拓扑）流形，如果X的任一点都有一个同胚于En或开邻域．
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这里是半个n维欧氏空间，规定为
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∶＝｛（x1，x2，…，xn）∈En｜xn≥0｝．
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按照这个定义，En本身就是一个n维流形，Sn，Dn和Tn等也都是n维流形．而二次锥面并不是流形，除非把锥顶去掉，因为锥顶的任一邻域不同胚于E2或（请读者证明）．