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由于B紧致，F-1（W）是开集，根据第二章§3中3.5的引理，∀x∈U，则｛x｝×B⊂F-1（W），有x的邻域Ux，使得Ux×B⊂F-1（W），即Ux⊂U．这样U是开集．由于f是商映射，V也是开集．于是（y0，z0）是V×B的内点，从而也是W的内点． ▎
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E1和I都是局部紧致的Hausdorff空间．以后我们常在Z＝E1或I的情况下应用此定理．
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习 题
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1．设f：X→Y和g∶Y→Z都是连续映射，使得gf是商映射，证明g也是商映射．
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2．设f：X→Y是商映射，B是Y的开集（或闭集），A＝f-1（B），则fA：A→B也是商映射．
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3．设X是Hausdorff空间，证明CX也是Hausdorff空间．
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4．设A是Hausdorff空间X的紧致子集，证明X/A也是Hausdorff空间．
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5．规定f：（－1，2）→［0，1］为
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证明：
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（1）f是商映射；
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（2）f不是开映射，也不是闭映射．
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6．证明
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7．证明
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8．设A是环面T2上一经圆与一纬圆的并集．证明
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9．设M是Möbius带，∂M是它的边界．证明
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10．设X是En中的紧致子集，a∈En＋1En．证明
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11．记p：E1→E1/（0，1］是粘合映射．
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（1）证明p既不是开映射，又不是闭映射．
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（2）记A＝E1（0，1］．证明pA：A→p（A）不是商映射．
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12．设f：S2→E4规定为