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Klein瓶也是闭曲面．如果把它看作矩形的商空间，可用与P2相同的办法证明它的每一点有开邻域同胚于E2，不过多了一种情况：p-1（y）是矩形的四个顶点x1，x2，x2，x4（图3-17）．令（ε足够小），则p（U）就是y的开邻域，它同胚于E2．
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一般地，假设Г是一个偶数边的多边形，如果成对地粘接Г的边，那么所得的商空间是闭曲面．
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3.3 两类闭曲面
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球面是最简单的闭曲面．对球面施用手术，可得到许多新的闭曲面．
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1．安环柄的球面
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环面上挖去一个开圆盘，就说是在环面上挖一个洞，把所得空间称为环柄（图3-18）．
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图3-18
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图3-19
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图3-20
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在球面上挖一洞，在洞口粘接上一个环柄（图3-19）．把这样的“手术”称为在球面上安一个环柄．不难看出，得到的闭曲面是T2．如果在球面上安n个环柄，把得到的闭曲面记作nT2，称作亏格为n的可定向闭曲面．不难想象，安环柄时洞口的位置和大小（只要不相重叠）对所得闭曲面的拓扑类并不会影响，因此nT2表示一个拓扑等价类．nT2的另一种常用的形式就是n-环面（不同于n维环面）．图3-20左边画的是一个三环面．它同胚于安三个环柄的球面．
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2．安交叉帽的球面
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在球面上挖一洞，并在洞口粘接一条Möbius带，把这种手术称为在球面上安交叉帽．安了m个交叉帽的球面称为亏格为m的不可定向闭曲面，记作mP2．
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图3-21
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图3-22
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安交叉帽的一种等效手术是将球面上洞口的对径点粘合（图3-21）．因此1P2就是P2．2P2可看作两条Möbius带沿边界粘接（图3-22）．矩形的两对邻边“顺向”地粘接得到的就是2P2，如图3-23中所示，沿c将矩形分割为两个三角形，对它们分别粘接a边对和b边对，得到两个以c为边界的Möbius带．图3-24又表明，矩形的这种粘合的结果是Klein瓶，因此2P2是Klein瓶．
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