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在球面上挖一洞，并在洞口粘接一条Möbius带，把这种手术称为在球面上安交叉帽．安了m个交叉帽的球面称为亏格为m的不可定向闭曲面，记作mP2．
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图3-21
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图3-22
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安交叉帽的一种等效手术是将球面上洞口的对径点粘合（图3-21）．因此1P2就是P2．2P2可看作两条Möbius带沿边界粘接（图3-22）．矩形的两对邻边“顺向”地粘接得到的就是2P2，如图3-23中所示，沿c将矩形分割为两个三角形，对它们分别粘接a边对和b边对，得到两个以c为边界的Möbius带．图3-24又表明，矩形的这种粘合的结果是Klein瓶，因此2P2是Klein瓶．
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图3-23
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图3-24
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习 题
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1．证明流形满足C1公理．
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2．证明紧致流形满足C2公理．
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3．证明紧致流形是可度量化的．
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4．在E1中规定等价关系～，使得等价类为两种情形：
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（1）｛x｝，x∈［－1，1］；
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（2）｛x，－x｝，x＞1．
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证明E1/～的每一点都有同胚于E1的开邻域，但它不是Hausdorff空间．
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5．证明流形满足T3公理．
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6．证明流形局部道路连通和局部紧致．
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7．证明流形的内部是它的开子集．
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基础拓扑学讲义 [:1701040214]
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§4 闭曲面分类定理
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空间的拓扑分类（按同胚关系分类）自然是拓扑学中的一个重要问题．但是拓扑空间如此多样，不能奢望对此问题有完全的解答．即使是解决某些特定空间的分类问题的结果也是很少的．然而，闭曲面的拓扑分类问题却已得到完美的解决．闭曲面是流形中最有用的部分，它的分类定理的重要意义就更加明显了．