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定义3.4 没有边界点的紧致连通曲面称为闭曲面．
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S2和T2都是闭曲面．E2不是闭曲面．D2，平环和Möbius带不是闭曲面，因为它们有边界点（下章证明，现在只能从直观上接受）．
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射影平面P2是闭曲面，它的紧致性与连通性明显．只须验证每一点有开邻域同胚于E2．将它看作D2粘合S1上对径点的商空间．记p∶D2→P2是粘合映射．如果点y∈P2在p下的原像是D2的一个内点x，则是y的开邻域．如果p-1（y）是S1上一对对径点x与x′，取U＝B（x，ε）∪B（x′，ε），ε＜1（图3-16），则（读者自己证明），是y的开邻域．
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图3-16
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图3-17
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Klein瓶也是闭曲面．如果把它看作矩形的商空间，可用与P2相同的办法证明它的每一点有开邻域同胚于E2，不过多了一种情况：p-1（y）是矩形的四个顶点x1，x2，x2，x4（图3-17）．令（ε足够小），则p（U）就是y的开邻域，它同胚于E2．
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一般地，假设Г是一个偶数边的多边形，如果成对地粘接Г的边，那么所得的商空间是闭曲面．
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3.3 两类闭曲面
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球面是最简单的闭曲面．对球面施用手术，可得到许多新的闭曲面．
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1．安环柄的球面
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环面上挖去一个开圆盘，就说是在环面上挖一个洞，把所得空间称为环柄（图3-18）．
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图3-18
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图3-19
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图3-20
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在球面上挖一洞，在洞口粘接上一个环柄（图3-19）．把这样的“手术”称为在球面上安一个环柄．不难看出，得到的闭曲面是T2．如果在球面上安n个环柄，把得到的闭曲面记作nT2，称作亏格为n的可定向闭曲面．不难想象，安环柄时洞口的位置和大小（只要不相重叠）对所得闭曲面的拓扑类并不会影响，因此nT2表示一个拓扑等价类．nT2的另一种常用的形式就是n-环面（不同于n维环面）．图3-20左边画的是一个三环面．它同胚于安三个环柄的球面．
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2．安交叉帽的球面
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