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设S是一闭曲面，它有多边形表示（Γ，φ）．我们要改造这个表示使之标准化．不妨设S不是球面、环面、射影平面和Klein瓶（已知道后三种闭曲面有标准表示），因此Γ的边数不会小于6（因为当边数为4时，只可能是上述几种曲面）．
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下面给出从（Γ，φ）出发，构造S的标准表示的程序．每一步都是用§2中已经使用多次的“剪接”技术．
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先约定几个术语．
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在（Γ，φ）中，Γ的在φ下要粘接的边对称为同向对，如果两边标有相同的方向，否则称反向对．例如在（Ⅰn）中，只出现反向对，（Ⅱm）中只有同向对．
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Γ的所有顶点在粘合关系φ下分成若干等价类，称它们为顶点类．例如图3.25中的（a）、（b）和（d）都只有一个顶点类；（c）和（e）有两个顶点类；（f）有三个顶点类．
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将使用两类剪接手术：
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手术A 粘接相邻反向对．
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图3-26
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例如对图3-26中的多边形Γ粘接反向对a（其他边对暂不粘接），得新多边形Γ′，φ导出Γ′的粘合关系φ′．得到S的另一个表示（Γ′，φ′），它的边数比Γ少2，顶点类个数减少1（Γ的顶点A单独成一顶点类，在Γ′中它成为内点）．
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手术B 选定Γ上一个边对a，沿一条对角线a′剪开Γ成两块，使得每一块都有一条a，然后沿a将两块粘接得Γ′．
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图3-27（a）是沿一个反向对施用手术B，（b）是沿同向对作手术B．
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图3-27
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手术B不改变多边形的边数和顶点类数．
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以后将会看到，多边形表示有无同向对是一个要紧的性质．显然手术A不改变此性质．手术B也不改变这个性质．事实上，如对反向对施用手术B，Ⅰ和Ⅱ只须作平移即可粘接，因此原有边对不改变方向，而增加的a′对是反向的；如果对同向对作手术B，则必须翻转Ⅰ和Ⅱ中的一块才能粘接，因此新增边对a′是同向的．
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标准化的过程分为两个阶段．
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（一）减少多边形边数．
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因为减少边数和减少顶点类数同时发生，所以如果（Γ，φ）的顶点类只有一个了，边数就不能再减少．
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设（Γ，φ）的顶点类数大于1．记其中一类为P．如果P中只有一个顶点，则这顶点是一反向对的公共端点，对这反向对作手术A，就可消去P类．如果P中含不只一个顶点，取其中一点，使得它的一个相邻顶点不属P，就像图3-28（a）的上方的顶点，它和一Q类顶点相邻，从而与它连接的两边不粘接．如图3-28中所示方式，对边对a作手术B，则P类顶点减少一个（Q类增加一个）．重复上述做法，直到P类只含一个顶点，再用一次手术A使P类消去．同时边数减少2．
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图3-28
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如果（Γ，φ）有ι条边，k个顶点类，则用上面的办法可得到一个新表示（Γ′，φ′），它只有一个顶点类，边数为ι－2（k－1）．
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