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（二）改变粘合方式．
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设（一）已完成，（Γ′，φ′）是所得改造了的表示．它只有一个顶点类，因此不再用手术A了．
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引理2 （Γ′，φ′）中反向边对不相邻，且至少与另一边对相间排列（图3-29（a）中的a边对与b边对）．
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证明 设a是它的一个反向对．如果它是相邻的，则它们的公共顶点不与其他顶点等价，顶点类数大于1，与假设矛盾．因此a边对不相邻．
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图3-29
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设Γ′中其余边构成折线段K与L．如果K中边不和L中的边粘接，则K中顶点不与L中顶点等价，顶点类个数大于1．因此有第二个结论． ▎
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下面就两种情况分别讨论：（Γ′，φ′）没有同向对；（Γ′，φ′）上至少有一同向对．前面已指出，这两种情况不会因施用手术A，B而互相转换．
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（i）没有同向对．
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取a是一反向对，取b是与a相间排列的反向对．则以适当方式（如图3-29所示）对a和b施用两次手术B，可使边对a和b消去，增加相间并连接排列的边对a1和b1．
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多次施行这种做法，最后可得到（Ⅰn）形式的表示
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这里自然数n等于Γ′的边数的四分之一．
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（ii）有同向对．
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图3-30
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取a是一同向对，图3-30表示用一次手术B可消去边对a，增加一个相邻同向对．重复这做法，使得不再有不相邻的同向对．如果此时没有反向对了，则得到（Ⅱm）形式的表示，2m等于Γ′的边数；如果有反向对，设a是一反向对，b是与a相间排列的边对，因为b不是相邻边对，所以b是反向对．利用一个同向对c，作数次手术B，可消去边对a，b和c，并增加三个相邻同向对（图3-31）．这样，在有同向对的情形最后都可改造成（Ⅱm）形式的表示．
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图3-31
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至此标准化工作完成．
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3．（Ⅰn）和（Ⅱm）分别是nT2和mP2的表示
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先考虑（Ⅱm）．图3-32（a）是m＝3的情形．Γ的三条对角线将Γ分割成四个三角形，其中Δ1，Δ2和Δ3分别粘合成Möbius带，Δ粘成挖了三个洞的球面（图3-32（b）），将三条Möbius带分别粘接在三个洞口上得到S．因此S是安了三个交叉帽的球面，属于3P2．一般地（Ⅱm）是mP2的多边形表示．
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