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(二)改变粘合方式.
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设(一)已完成,(Γ′,φ′)是所得改造了的表示.它只有一个顶点类,因此不再用手术A了.
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引理2 (Γ′,φ′)中反向边对不相邻,且至少与另一边对相间排列(图3-29(a)中的a边对与b边对).
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证明 设a是它的一个反向对.如果它是相邻的,则它们的公共顶点不与其他顶点等价,顶点类数大于1,与假设矛盾.因此a边对不相邻.
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图3-29
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设Γ′中其余边构成折线段K与L.如果K中边不和L中的边粘接,则K中顶点不与L中顶点等价,顶点类个数大于1.因此有第二个结论. ▎
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下面就两种情况分别讨论:(Γ′,φ′)没有同向对;(Γ′,φ′)上至少有一同向对.前面已指出,这两种情况不会因施用手术A,B而互相转换.
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(i)没有同向对.
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取a是一反向对,取b是与a相间排列的反向对.则以适当方式(如图3-29所示)对a和b施用两次手术B,可使边对a和b消去,增加相间并连接排列的边对a1和b1.
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多次施行这种做法,最后可得到(Ⅰn)形式的表示
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这里自然数n等于Γ′的边数的四分之一.
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(ii)有同向对.
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图3-30
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取a是一同向对,图3-30表示用一次手术B可消去边对a,增加一个相邻同向对.重复这做法,使得不再有不相邻的同向对.如果此时没有反向对了,则得到(Ⅱm)形式的表示,2m等于Γ′的边数;如果有反向对,设a是一反向对,b是与a相间排列的边对,因为b不是相邻边对,所以b是反向对.利用一个同向对c,作数次手术B,可消去边对a,b和c,并增加三个相邻同向对(图3-31).这样,在有同向对的情形最后都可改造成(Ⅱm)形式的表示.
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图3-31
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至此标准化工作完成.
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3.(Ⅰn)和(Ⅱm)分别是nT2和mP2的表示
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先考虑(Ⅱm).图3-32(a)是m=3的情形.Γ的三条对角线将Γ分割成四个三角形,其中Δ1,Δ2和Δ3分别粘合成Möbius带,Δ粘成挖了三个洞的球面(图3-32(b)),将三条Möbius带分别粘接在三个洞口上得到S.因此S是安了三个交叉帽的球面,属于3P2.一般地(Ⅱm)是mP2的多边形表示.
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