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多次施行这种做法，最后可得到（Ⅰn）形式的表示
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这里自然数n等于Γ′的边数的四分之一．
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（ii）有同向对．
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图3-30
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取a是一同向对，图3-30表示用一次手术B可消去边对a，增加一个相邻同向对．重复这做法，使得不再有不相邻的同向对．如果此时没有反向对了，则得到（Ⅱm）形式的表示，2m等于Γ′的边数；如果有反向对，设a是一反向对，b是与a相间排列的边对，因为b不是相邻边对，所以b是反向对．利用一个同向对c，作数次手术B，可消去边对a，b和c，并增加三个相邻同向对（图3-31）．这样，在有同向对的情形最后都可改造成（Ⅱm）形式的表示．
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图3-31
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至此标准化工作完成．
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3．（Ⅰn）和（Ⅱm）分别是nT2和mP2的表示
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先考虑（Ⅱm）．图3-32（a）是m＝3的情形．Γ的三条对角线将Γ分割成四个三角形，其中Δ1，Δ2和Δ3分别粘合成Möbius带，Δ粘成挖了三个洞的球面（图3-32（b）），将三条Möbius带分别粘接在三个洞口上得到S．因此S是安了三个交叉帽的球面，属于3P2．一般地（Ⅱm）是mP2的多边形表示．
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图3-32
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对（Ⅰn）用类似方法论证，它是nT2的多边形表示．要注意现在用对角线割下的是图3-33（a）中的五边形，粘接ai和bi，得到一个环柄，见图3-33（b）．
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图3-33
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至此我们已完成了闭曲面分类定理证明的（1）部分．
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一般来说，对一个任意给定的多边形表示进行标准化的工作量是很大的．但是，不需要完成整个过程就可决定最后得出的是什么样的标准化表示．决定结果的两个因素：
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（i）有无同向对？在标准化的过程中，这性质一直不改变．因此，当原表示有同向对时，结果一定是mP2型的，否则是nT2型的．
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（ii）标准化表示的边数．它可以从原表示的边数ι和顶点类个数k求出：
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边数＝l－2k＋2．
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这样，从原表示可以直接知道曲面的类型．