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手术B 选定Γ上一个边对a,沿一条对角线a′剪开Γ成两块,使得每一块都有一条a,然后沿a将两块粘接得Γ′.
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图3-27(a)是沿一个反向对施用手术B,(b)是沿同向对作手术B.
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图3-27
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手术B不改变多边形的边数和顶点类数.
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以后将会看到,多边形表示有无同向对是一个要紧的性质.显然手术A不改变此性质.手术B也不改变这个性质.事实上,如对反向对施用手术B,Ⅰ和Ⅱ只须作平移即可粘接,因此原有边对不改变方向,而增加的a′对是反向的;如果对同向对作手术B,则必须翻转Ⅰ和Ⅱ中的一块才能粘接,因此新增边对a′是同向的.
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标准化的过程分为两个阶段.
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(一)减少多边形边数.
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因为减少边数和减少顶点类数同时发生,所以如果(Γ,φ)的顶点类只有一个了,边数就不能再减少.
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设(Γ,φ)的顶点类数大于1.记其中一类为P.如果P中只有一个顶点,则这顶点是一反向对的公共端点,对这反向对作手术A,就可消去P类.如果P中含不只一个顶点,取其中一点,使得它的一个相邻顶点不属P,就像图3-28(a)的上方的顶点,它和一Q类顶点相邻,从而与它连接的两边不粘接.如图3-28中所示方式,对边对a作手术B,则P类顶点减少一个(Q类增加一个).重复上述做法,直到P类只含一个顶点,再用一次手术A使P类消去.同时边数减少2.
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图3-28
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如果(Γ,φ)有ι条边,k个顶点类,则用上面的办法可得到一个新表示(Γ′,φ′),它只有一个顶点类,边数为ι-2(k-1).
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(二)改变粘合方式.
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设(一)已完成,(Γ′,φ′)是所得改造了的表示.它只有一个顶点类,因此不再用手术A了.
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引理2 (Γ′,φ′)中反向边对不相邻,且至少与另一边对相间排列(图3-29(a)中的a边对与b边对).
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证明 设a是它的一个反向对.如果它是相邻的,则它们的公共顶点不与其他顶点等价,顶点类数大于1,与假设矛盾.因此a边对不相邻.
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图3-29
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设Γ′中其余边构成折线段K与L.如果K中边不和L中的边粘接,则K中顶点不与L中顶点等价,顶点类个数大于1.因此有第二个结论. ▎
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下面就两种情况分别讨论:(Γ′,φ′)没有同向对;(Γ′,φ′)上至少有一同向对.前面已指出,这两种情况不会因施用手术A,B而互相转换.
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(i)没有同向对.
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取a是一反向对,取b是与a相间排列的反向对.则以适当方式(如图3-29所示)对a和b施用两次手术B,可使边对a和b消去,增加相间并连接排列的边对a1和b1.
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