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图3-32
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对（Ⅰn）用类似方法论证，它是nT2的多边形表示．要注意现在用对角线割下的是图3-33（a）中的五边形，粘接ai和bi，得到一个环柄，见图3-33（b）．
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图3-33
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至此我们已完成了闭曲面分类定理证明的（1）部分．
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一般来说，对一个任意给定的多边形表示进行标准化的工作量是很大的．但是，不需要完成整个过程就可决定最后得出的是什么样的标准化表示．决定结果的两个因素：
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（i）有无同向对？在标准化的过程中，这性质一直不改变．因此，当原表示有同向对时，结果一定是mP2型的，否则是nT2型的．
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（ii）标准化表示的边数．它可以从原表示的边数ι和顶点类个数k求出：
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边数＝l－2k＋2．
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这样，从原表示可以直接知道曲面的类型．
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例如图3-34中的多边形表示边数为8，顶点类有2个，因此相应曲面的标准化表示的边数为6，原表示有同向对，因此曲面为3P2型的．
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图3-34
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习 题
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1．具有下列用文字形式写出的多边形表示的闭曲面是什么类型？
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（1）abcda-1bc-1d；
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（2）abacb-1dcd；
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（3）abcb-1dc-1a-1d-1；
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（4）abca-1cdeb-1fedf．
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2．两个闭曲面各挖去一个圆盘的内部，然后把洞口对接，所得闭曲面称为原来两个闭曲面的连通和．如果原来闭曲面为M和N，则它们的连通和记作M＃N．试判别：
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（1）若M为mT2型，N为nT2型，M＃N是什么型？
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（2）若M为mP2型，N为nP2型，M＃N是什么型？
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（3）若M为mT2型，N为nP2型，M＃N是什么型？
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3．如果在环面上挖去一个圆盘的内部，然后把洞口的对径点粘合，所得曲面是什么类型的？