打字猴:1.70104348e+09
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1701043481 例1 设f,g∈C(X,En).规定H∶X×I→En为
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1701043483 H(x,t)=(1-t)f(x)+tg(x).
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1701043486 容易验证H是f到g的同伦(习题1).H的直观意义为:当t从0变到1时,ht(x)从f(x)到g(x)作匀速直线运动.因此称这种同伦为直线同伦.直线同伦构作的基础是线段因此,把En换成En的凸子集,同样可构造直线同伦.
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1701043491 例2 若f,g∈C(X,Sn),使得∀x∈X,f(x)≠-g(x),则可规定f到g的同伦H为(图4-3).H有意义是因为原点从而对任何t∈I,‖(1-t)f(x)+tg(x)‖≠0.
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1701043496 图4-3
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1701043499 例3 设f,g∈C(X,S1),使得∀x∈X,f(x)=-g(x),则连结f和g的一个同伦可构作如下:把S1看作复平面上的单位圆周,其上点用单位复数eit(t∈R)表示,令
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1701043501 H(x,t)=eitπ·f(x).
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1701043503 直观上看,ht(x)是把f(x)绕原点转tπ角.
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1701043505 命题4.1 同伦关系是C(X,Y)中的一种等价关系.
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1701043508 证明 自反性 设f∈C(X,Y),令H(x,t)≡f(x),∀x∈X,t∈I.则(这样的同伦称为常同伦.)
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1701043514 对称性 设规定∀x∈X,t∈I.则(称为H的逆.)
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1701043517 传递性 设规定H1与H2的乘积H1H2∶X×I→Y为(图4-4)
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1701043525 图4-4
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