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例1 设f，g∈C（X，En）．规定H∶X×I→En为
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H（x，t）＝（1－t）f（x）＋tg（x）．
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容易验证H是f到g的同伦（习题1）．H的直观意义为：当t从0变到1时，ht（x）从f（x）到g（x）作匀速直线运动．因此称这种同伦为直线同伦．直线同伦构作的基础是线段因此，把En换成En的凸子集，同样可构造直线同伦．
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例2 若f，g∈C（X，Sn），使得∀x∈X，f（x）≠－g（x），则可规定f到g的同伦H为（图4-3）．H有意义是因为原点从而对任何t∈I，‖（1－t）f（x）＋tg（x）‖≠0．
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图4-3
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例3 设f，g∈C（X，S1），使得∀x∈X，f（x）＝－g（x），则连结f和g的一个同伦可构作如下：把S1看作复平面上的单位圆周，其上点用单位复数eit（t∈R）表示，令
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H（x，t）＝eitπ·f（x）．
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直观上看，ht（x）是把f（x）绕原点转tπ角．
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命题4.1 同伦关系是C（X，Y）中的一种等价关系．
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证明 自反性 设f∈C（X，Y），令H（x，t）≡f（x），∀x∈X，t∈I．则（这样的同伦称为常同伦．）
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对称性 设规定∀x∈X，t∈I．则（称为H的逆．）
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传递性 设规定H1与H2的乘积H1H2∶X×I→Y为（图4-4）
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图4-4
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