1701043530
当时，H1（x，2t）＝H1（x，1）＝g（x）＝H2（x，2t－1），因此H1H2的定义合理．根据粘合引理，它是连续的．容易验证 ▎
1701043531
1701043532
把C（X，Y）在同伦关系下分成的等价类称为映射类．所有映射类的集合记作［X，Y］．
1701043533
1701043534
例1说明，当Y是En的凸集时，［X，Y］中只有一个映射类．
1701043535
1701043536
1701043537
例4 设X是单点空间｛x｝．则C（｛x｝，Y）与Y之间有一个自然的一一对应：f→f（x）．∀y∈Y，记fy为像点是y的映射．则fy1到fy2的一个同伦就是Y中从y1到y2的一条道路，y1和y2在Y的同一道路分支中．因此［｛x｝，Y］与Y的道路分支的集合有一个一一对应关系．特别当Y道路连通时，［｛x｝，Y］只有一个映射类．
1701043538
1701043539
1701043540
1701043541
1701043542
命题4.2 若则
1701043543
1701043544
1701043545
证明 设规定连续映射F：X×I→Y×I为
1701043546
1701043547
F（x，t）＝（F（x，t），t）
1701043548
1701043549
1701043550
（称为F的柱化）．则（请读者自己验证．） ▎
1701043551
1701043552
如果f同伦于一个常值映射，则称f是零伦的．
1701043553
1701043554
1701043555
1701043556
1701043557
例5 设X是En的凸集，则idX∶X→X零伦（例1）．设e是X到X的一个常值映射，则对任何拓扑空间Y和连续映射f∶X→Y，（用命题4.2），fe是常值映射，因此f是零伦的．特别对道路连通空间Y，［X，Y］只有一个映射类（见本节习题2）．
1701043558
1701043559
I＝［0，1］是凸集，因此拓扑空间X上每条道路（注意它是映射）都同伦于点道路．道路连通空间的任何两条道路都同伦．这样，道路的一般同伦并不能反映出空间的很多信息．对道路，下面所用的是一种有附加要求的同伦．
1701043560
1701043561
1701043562
1701043563
1701043564
定义4.2 设A⊂X，f，g∈C（X，Y）．如果存在f到g的同伦H，使得当a∈A时，H（a，t）＝f（a）＝g（a），∀t∈I，则称f和g相对于A同伦，记作称H是f到g的相对于A的同伦，记作（或．
1701043565
1701043566
1701043567
例6 设Y是En的凸集，f，g∈C（X，Y）．如果x使得f（x）＝g（x），则f到g的直线同伦H满足H（x，t）＝f（x）＝g（x），∀t∈I．记A＝｛x∈X｜f（x）＝g（x）｝，则
1701043568
1701043569
下面是命题4.1和4.2的平行结果，证明从略．
1701043570
1701043571
命题4.3 取定A⊂X，则C（X，Y）中相对于A的同伦也是等价关系．
1701043572
1701043573
1701043574
1701043575
命题4.4 设并且f0（A）⊂B，则
1701043576
1701043577
1701043578
1701043579
定义4.3 设a，b是X上的两条道路，如果则称a与b定端同伦，记作