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例2 若f，g∈C（X，Sn），使得∀x∈X，f（x）≠－g（x），则可规定f到g的同伦H为（图4-3）．H有意义是因为原点从而对任何t∈I，‖（1－t）f（x）＋tg（x）‖≠0．
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图4-3
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例3 设f，g∈C（X，S1），使得∀x∈X，f（x）＝－g（x），则连结f和g的一个同伦可构作如下：把S1看作复平面上的单位圆周，其上点用单位复数eit（t∈R）表示，令
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H（x，t）＝eitπ·f（x）．
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直观上看，ht（x）是把f（x）绕原点转tπ角．
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命题4.1 同伦关系是C（X，Y）中的一种等价关系．
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证明 自反性 设f∈C（X，Y），令H（x，t）≡f（x），∀x∈X，t∈I．则（这样的同伦称为常同伦．）
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对称性 设规定∀x∈X，t∈I．则（称为H的逆．）
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传递性 设规定H1与H2的乘积H1H2∶X×I→Y为（图4-4）
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图4-4
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当时，H1（x，2t）＝H1（x，1）＝g（x）＝H2（x，2t－1），因此H1H2的定义合理．根据粘合引理，它是连续的．容易验证 ▎
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把C（X，Y）在同伦关系下分成的等价类称为映射类．所有映射类的集合记作［X，Y］．
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例1说明，当Y是En的凸集时，［X，Y］中只有一个映射类．
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例4 设X是单点空间｛x｝．则C（｛x｝，Y）与Y之间有一个自然的一一对应：f→f（x）．∀y∈Y，记fy为像点是y的映射．则fy1到fy2的一个同伦就是Y中从y1到y2的一条道路，y1和y2在Y的同一道路分支中．因此［｛x｝，Y］与Y的道路分支的集合有一个一一对应关系．特别当Y道路连通时，［｛x｝，Y］只有一个映射类．
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