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命题4.2 若则
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证明 设规定连续映射F：X×I→Y×I为
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F（x，t）＝（F（x，t），t）
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（称为F的柱化）．则（请读者自己验证．） ▎
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如果f同伦于一个常值映射，则称f是零伦的．
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例5 设X是En的凸集，则idX∶X→X零伦（例1）．设e是X到X的一个常值映射，则对任何拓扑空间Y和连续映射f∶X→Y，（用命题4.2），fe是常值映射，因此f是零伦的．特别对道路连通空间Y，［X，Y］只有一个映射类（见本节习题2）．
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I＝［0，1］是凸集，因此拓扑空间X上每条道路（注意它是映射）都同伦于点道路．道路连通空间的任何两条道路都同伦．这样，道路的一般同伦并不能反映出空间的很多信息．对道路，下面所用的是一种有附加要求的同伦．
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定义4.2 设A⊂X，f，g∈C（X，Y）．如果存在f到g的同伦H，使得当a∈A时，H（a，t）＝f（a）＝g（a），∀t∈I，则称f和g相对于A同伦，记作称H是f到g的相对于A的同伦，记作（或．
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例6 设Y是En的凸集，f，g∈C（X，Y）．如果x使得f（x）＝g（x），则f到g的直线同伦H满足H（x，t）＝f（x）＝g（x），∀t∈I．记A＝｛x∈X｜f（x）＝g（x）｝，则
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下面是命题4.1和4.2的平行结果，证明从略．
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命题4.3 取定A⊂X，则C（X，Y）中相对于A的同伦也是等价关系．
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命题4.4 设并且f0（A）⊂B，则
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定义4.3 设a，b是X上的两条道路，如果则称a与b定端同伦，记作
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显然的一个必要条件是a与b有相同的起终点．a到的一个定端同伦是从矩形I×I到X的一个连续映射．它把左右侧边分别映为a（0）点和a（1）点，在下底和上底上的限制分别是道路a和b（图4-5）．
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图4-5
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X的所有道路在关系下分成的等价类称为X的道路类．X的所有道路类的集合记作［X］．一条道路a所属的道路类记作〈a〉，称a的起、终点为〈a〉的起、终点．起终点重合的道路类称为闭路类．称起（终）点为它的基点．