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对称性 设规定∀x∈X，t∈I．则（称为H的逆．）
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传递性 设规定H1与H2的乘积H1H2∶X×I→Y为（图4-4）
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图4-4
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当时，H1（x，2t）＝H1（x，1）＝g（x）＝H2（x，2t－1），因此H1H2的定义合理．根据粘合引理，它是连续的．容易验证 ▎
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把C（X，Y）在同伦关系下分成的等价类称为映射类．所有映射类的集合记作［X，Y］．
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例1说明，当Y是En的凸集时，［X，Y］中只有一个映射类．
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例4 设X是单点空间｛x｝．则C（｛x｝，Y）与Y之间有一个自然的一一对应：f→f（x）．∀y∈Y，记fy为像点是y的映射．则fy1到fy2的一个同伦就是Y中从y1到y2的一条道路，y1和y2在Y的同一道路分支中．因此［｛x｝，Y］与Y的道路分支的集合有一个一一对应关系．特别当Y道路连通时，［｛x｝，Y］只有一个映射类．
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命题4.2 若则
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证明 设规定连续映射F：X×I→Y×I为
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F（x，t）＝（F（x，t），t）
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（称为F的柱化）．则（请读者自己验证．） ▎
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如果f同伦于一个常值映射，则称f是零伦的．
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例5 设X是En的凸集，则idX∶X→X零伦（例1）．设e是X到X的一个常值映射，则对任何拓扑空间Y和连续映射f∶X→Y，（用命题4.2），fe是常值映射，因此f是零伦的．特别对道路连通空间Y，［X，Y］只有一个映射类（见本节习题2）．
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I＝［0，1］是凸集，因此拓扑空间X上每条道路（注意它是映射）都同伦于点道路．道路连通空间的任何两条道路都同伦．这样，道路的一般同伦并不能反映出空间的很多信息．对道路，下面所用的是一种有附加要求的同伦．
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