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定义4.2 设A⊂X，f，g∈C（X，Y）．如果存在f到g的同伦H，使得当a∈A时，H（a，t）＝f（a）＝g（a），∀t∈I，则称f和g相对于A同伦，记作称H是f到g的相对于A的同伦，记作（或．
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例6 设Y是En的凸集，f，g∈C（X，Y）．如果x使得f（x）＝g（x），则f到g的直线同伦H满足H（x，t）＝f（x）＝g（x），∀t∈I．记A＝｛x∈X｜f（x）＝g（x）｝，则
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下面是命题4.1和4.2的平行结果，证明从略．
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命题4.3 取定A⊂X，则C（X，Y）中相对于A的同伦也是等价关系．
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命题4.4 设并且f0（A）⊂B，则
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定义4.3 设a，b是X上的两条道路，如果则称a与b定端同伦，记作
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显然的一个必要条件是a与b有相同的起终点．a到的一个定端同伦是从矩形I×I到X的一个连续映射．它把左右侧边分别映为a（0）点和a（1）点，在下底和上底上的限制分别是道路a和b（图4-5）．
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图4-5
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X的所有道路在关系下分成的等价类称为X的道路类．X的所有道路类的集合记作［X］．一条道路a所属的道路类记作〈a〉，称a的起、终点为〈a〉的起、终点．起终点重合的道路类称为闭路类．称起（终）点为它的基点．
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习 题
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1．验证直线同伦的连续性．
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2．设y1，y2∈Y，是将X映为｛yi｝的常值映射．证明：与y2在Y的同一道路分支中．
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3．证明：如果连续映射f：X→Sn不满，则f零伦．
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4．证明：连续映射f：X→Y零伦f可扩张到CX上．
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5．设f：X→Y连续，X中道路证明
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6．记p：I→S1规定为p（t）＝ei2πt．f，g∈C（S1，X）．证明
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