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显然的一个必要条件是a与b有相同的起终点.a到的一个定端同伦是从矩形I×I到X的一个连续映射.它把左右侧边分别映为a(0)点和a(1)点,在下底和上底上的限制分别是道路a和b(图4-5).
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图4-5
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X的所有道路在关系下分成的等价类称为X的道路类.X的所有道路类的集合记作[X].一条道路a所属的道路类记作〈a〉,称a的起、终点为〈a〉的起、终点.起终点重合的道路类称为闭路类.称起(终)点为它的基点.
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习 题
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1.验证直线同伦的连续性.
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2.设y1,y2∈Y,是将X映为{yi}的常值映射.证明:与y2在Y的同一道路分支中.
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3.证明:如果连续映射f:X→Sn不满,则f零伦.
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4.证明:连续映射f:X→Y零伦f可扩张到CX上.
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5.设f:X→Y连续,X中道路证明
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6.记p:I→S1规定为p(t)=ei2πt.f,g∈C(S1,X).证明
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7.设X是En中的凸集,则X上有相同起、终点的两条道路必定端同伦.
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8.证明:如果连续映射f:S1→S1与恒同映射不同伦,则f有不动点.
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§2 基本群的定义
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基本群是在道路及其运算(逆和乘积)的基础上建立的.但道路不能直接当作元素来建立群.有两个问题:一是道路的乘法没有结合律;二是并非任何两条道路都可相乘.我们用道路类替代道路,解决了第一个问题;用取定基点的办法解决第二个问题.
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2.1 道路类的逆和乘积
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命题4.5 (1)如果则
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