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命题4.8 设道路类α的起终点分别是x0和x1．记分别是x0，x1处的点道路，则
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（1）
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（2）
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证明 记idI是I的恒同映射，e0，e1分别是I上在0，1处的点道路．取a∈α．则i＝0，1．利用I的凸性，有
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用a分别与上述各式的两边复合，得到
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因此 ▎
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命题4.8说明点道路所在道路类有单位性．
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2.3 空间的基本群和连续映射诱导的基本群的同态
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设X是一个拓扑空间，取定x0∈X．把X的以x0为基点的所有闭路类的集合记作π1（X，x0）．于是π1（X，x0）中任何两个元素都是可乘的，乘积仍在π1（X，x0）中．
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定义4.5 称π1（X，x0）在道路类乘法运算下构成的群为X的以x0为基点的基本群．
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命题4.7保证了乘法有结合律，命题4.8说明是单位元，α的逆就是α-1．
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例 设X是En的凸集，x0∈X是任一点．因为x0处的任意两条闭路都定端同伦，所以π1（X，x0）只有一个元素，它是平凡群．
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设f：X→Y是连续映射，我们已建立保持乘法运算的对应fπ：［X］→［Y］．如果x0∈X，记y0＝f（x0），则当α∈π1（X，x0）时，fπ（α）∈π1（Y，y0）．因此fπ在π1（X，x0）上的限制fπ：π1（X，x0）→π1（Y，y0）是一个同态．
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定义4.6 如果f：X→Y连续，x0∈X，y0＝f（x0），称同态fπ：π1（X，x0）→π1（Y，y0）为f诱导出的基本群同态．
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