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注意这里基点x0是可以任意取的．因此f诱导出许多基本群同态（对每个点x∈X有一个同态），它们都记作fπ．
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命题4.9 设f：X→Y，g：Y→Z都是连续映射，x0∈X，y0＝f（x0），z0＝g（y0）．则
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（gf）π＝gπfπ：π1（X，x0）→π1（Z，z0）．
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证明 设α∈π1（X，x0）．取a∈α，则
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（gf）π（α）＝〈gfa〉＝gπ（〈fa〉）＝gπfπ（α）． ▎
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显然，若id：X→Y是恒同映射，则
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idπ：π1（X，x0）→π1（X，x0）
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是恒同自同构，即idπ（α）＝α，∀α∈π1（X，x0）．
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定理4.1 若f：X→Y是同胚映射，x0∈X，y0＝f（x0），则fπ：π1（X，x0）→π1（Y，y0）是同构．
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证明 设g是f的逆映射，g导出同态gπ：π1（Y，y0）→π1（X，x0）．由命题4.9．
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gπfπ＝（gf）π＝idπ：π1（X，x0）→π1（X，x0）
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是恒同同构，同理fπgπ：π1（Y，y0）→π1（Y，y0）也是恒同同构．因此fπ与gπ是一对互逆的同构． ▎
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定理说明基本群是拓扑不变量．
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2.4 基本群与基点的关系
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基本群是由空间和基点共同决定的．那么同一空间在不同基点处的基本群有什么关系？下面回答这个问题．
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先设x0与x1是在X的同一道路分支中的两点．设ω是从x0到x1的一个道路类．∀α∈π1（X，x0），ω-1αω∈π1（X，x1）．于是，由ω＃（α）＝ω-1αω规定了对应ω＃：π1（X，x0）→π1（X，x1）（图4-8）．
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图4-8
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定理4.2 若ω是从x0到x1的道路类，则
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（1）如果ω′是从x1到x2的道路类，则