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定义4.5 称π1（X，x0）在道路类乘法运算下构成的群为X的以x0为基点的基本群．
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命题4.7保证了乘法有结合律，命题4.8说明是单位元，α的逆就是α-1．
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例 设X是En的凸集，x0∈X是任一点．因为x0处的任意两条闭路都定端同伦，所以π1（X，x0）只有一个元素，它是平凡群．
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设f：X→Y是连续映射，我们已建立保持乘法运算的对应fπ：［X］→［Y］．如果x0∈X，记y0＝f（x0），则当α∈π1（X，x0）时，fπ（α）∈π1（Y，y0）．因此fπ在π1（X，x0）上的限制fπ：π1（X，x0）→π1（Y，y0）是一个同态．
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定义4.6 如果f：X→Y连续，x0∈X，y0＝f（x0），称同态fπ：π1（X，x0）→π1（Y，y0）为f诱导出的基本群同态．
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注意这里基点x0是可以任意取的．因此f诱导出许多基本群同态（对每个点x∈X有一个同态），它们都记作fπ．
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命题4.9 设f：X→Y，g：Y→Z都是连续映射，x0∈X，y0＝f（x0），z0＝g（y0）．则
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（gf）π＝gπfπ：π1（X，x0）→π1（Z，z0）．
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证明 设α∈π1（X，x0）．取a∈α，则
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（gf）π（α）＝〈gfa〉＝gπ（〈fa〉）＝gπfπ（α）． ▎
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显然，若id：X→Y是恒同映射，则
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idπ：π1（X，x0）→π1（X，x0）
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是恒同自同构，即idπ（α）＝α，∀α∈π1（X，x0）．
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定理4.1 若f：X→Y是同胚映射，x0∈X，y0＝f（x0），则fπ：π1（X，x0）→π1（Y，y0）是同构．
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证明 设g是f的逆映射，g导出同态gπ：π1（Y，y0）→π1（X，x0）．由命题4.9．
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gπfπ＝（gf）π＝idπ：π1（X，x0）→π1（X，x0）
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是恒同同构，同理fπgπ：π1（Y，y0）→π1（Y，y0）也是恒同同构．因此fπ与gπ是一对互逆的同构． ▎
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定理说明基本群是拓扑不变量．
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2.4 基本群与基点的关系
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基本群是由空间和基点共同决定的．那么同一空间在不同基点处的基本群有什么关系？下面回答这个问题．