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（1）得到证明．
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（2）任取α，β∈π1（X，x0），则
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ω＃（α）ω＃（β）＝ω-1αωω-1βω
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＝ω-1αβω（用命题4.8）
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＝ω＃（αβ）
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因此ω＃是同态．
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根据（1），显然是恒同同构；同理也是恒同同构．因此ω＃是同构，是它的逆． ▎
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从定义容易看出，当ω∈π1（X，x0），ω＃是π1（X，x0）上的一个内自同构．
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至此，我们已证明，当x0与x1属于X的同一道路分支时，并且从x0到x1的每个道路类都决定从π1（X，x0）到π1（X，x1）的一个同构．一般地这个同构与道路类的选择有关．
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如果X是道路连通的，则它的基本群的同构型与基点的选择无关．这个同构型就叫作X的基本群，记作π1（X）．
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定义4.7 道路连通并有平凡基本群的拓扑空间称为单连通空间．
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例如D2，I以及欧氏空间的任何凸集都是单连通的．
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命题4.10 设A是X的一个道路分支，x0∈A，i：A→X是包含映射．则
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iπ：π1（A，x0）→π1（X，x0）
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是同构．
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证明 设a是X上在x0处的闭路．a（I）是道路连通的，并且包含x0，因此a（I）⊂A．这样a也可看作A中的道路，由此得出iπ是满的．
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如果在X中，则H的像也是包含x0的道路连通子集，从而在A中．这说明在A中也有由此得到iπ是单的． ▎
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设x0，x1在X的不同的道路分支中．记Ai是包含xi的道路分支，命题说明
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一般来说，π1（A0）与π1（A1）是没有什么联系的．因此当x0，x1不在同一道路分支中时，π1（X，x0）与π1（X，x1）没有关系．
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习 题
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1．设X是平凡拓扑空间．证明对任何x0∈X，π1（X，x0）是平凡群．