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2．设X是离散拓扑空间，x0∈X．证明π1（X，x0）是平凡群．
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3．设x0是（R，τ2）（见第二章§6）的一点，证明（R，τ2）在x0的基本群是平凡群．
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4．设f：X→Y连续，xi∈X，yi＝f（xi），i＝0，1．记ω是从x0到x1的道路类．证明下面的同态图表可交换：
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5．设A是X的收缩核，i：A→X是包含映射，r：x→A是收缩映射．证明∀x0∈A，iπ：π1（A，x0）→π1（X，x0）是单同态，rπ：π1（X，x0）→π1（A，x0）是满同态．
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6．设X单连通，a，b是X中有相同起、终点的道路，证明
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7．设ω＃，是x0到x1的两个道路类．证明在π1（X，x0）的中心里（即ωω′-1与任一α∈π1（X，x0）都可交换：ωω′-1α＝αωω′-1）．
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8．证明若x0，x1在X的同一道路分支中，则从x0到x1的任一道路类决定相同的同构π1（X，x0）是交换群．
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9．试直接构造从（ab）c到a（bc）的定端同伦．
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基础拓扑学讲义 [:1701040219]
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§3 Sn的基本群
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基本群的定义不是构造性的，不能用来计算基本群．事实上也不存在对任何空间都有效的一般计算方法．因此基本群的计算就成为我们所面临的问题．许多有效的方法都是利用基本群的性质以及一些技巧，把所作计算转化为求较简单空间的基本群．当然，这些较简单空间的基本群必须会算．本节所讲的Sn的基本群就经常作为求其他空间基本群的基础．
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3.1 S1的基本群
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S1的基本群可以作为下章中的复叠空间理论的一个应用而得到．它在基本群的计算和应用中的地位是非常重要的，因此我们还是要先介绍一个比较初等的计算方法．
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把S1看作复平面上的单位圆，S1＝｛z∈C｜‖z‖＝1｝．取z0＝1∈S1作基点．
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设a是基点为z0的闭路，当t从0变到1时，a（t）从z0出发在S1上运动，并回到z0，就像一个赛跑运动员从跑道上的一点出发，最后跑回起点．首先，我们将规定a的“圈数”概念；然后再说明圈数就是判别闭路定端同伦的数量标志，由此得出π1（S1，z0）的结构．
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规定连续映射p：E′→S1为p（t）＝ei2πt，它在计算中起了关键性作用．p在局部上是同胚的：记Jt＝（t，t＋1），则p｜Jt：Jt→S1是嵌入映射．记pt＝p｜Jt：Jt→S1｛ei2πt｝，pt是同胚映射．并且（图4-9）．
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设X是一个拓扑空间，f：X→S1连续．X到E1的连续映射如果满足即左面的映射图表可交换，则称是f的一个提升．
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