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例如D2，I以及欧氏空间的任何凸集都是单连通的．
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命题4.10 设A是X的一个道路分支，x0∈A，i：A→X是包含映射．则
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iπ：π1（A，x0）→π1（X，x0）
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是同构．
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证明 设a是X上在x0处的闭路．a（I）是道路连通的，并且包含x0，因此a（I）⊂A．这样a也可看作A中的道路，由此得出iπ是满的．
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如果在X中，则H的像也是包含x0的道路连通子集，从而在A中．这说明在A中也有由此得到iπ是单的． ▎
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设x0，x1在X的不同的道路分支中．记Ai是包含xi的道路分支，命题说明
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一般来说，π1（A0）与π1（A1）是没有什么联系的．因此当x0，x1不在同一道路分支中时，π1（X，x0）与π1（X，x1）没有关系．
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习 题
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1．设X是平凡拓扑空间．证明对任何x0∈X，π1（X，x0）是平凡群．
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2．设X是离散拓扑空间，x0∈X．证明π1（X，x0）是平凡群．
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3．设x0是（R，τ2）（见第二章§6）的一点，证明（R，τ2）在x0的基本群是平凡群．
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4．设f：X→Y连续，xi∈X，yi＝f（xi），i＝0，1．记ω是从x0到x1的道路类．证明下面的同态图表可交换：
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5．设A是X的收缩核，i：A→X是包含映射，r：x→A是收缩映射．证明∀x0∈A，iπ：π1（A，x0）→π1（X，x0）是单同态，rπ：π1（X，x0）→π1（A，x0）是满同态．
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6．设X单连通，a，b是X中有相同起、终点的道路，证明
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7．设ω＃，是x0到x1的两个道路类．证明在π1（X，x0）的中心里（即ωω′-1与任一α∈π1（X，x0）都可交换：ωω′-1α＝αωω′-1）．
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8．证明若x0，x1在X的同一道路分支中，则从x0到x1的任一道路类决定相同的同构π1（X，x0）是交换群．
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9．试直接构造从（ab）c到a（bc）的定端同伦．
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基础拓扑学讲义 [:1701040219]
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§3 Sn的基本群