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基本群的定义不是构造性的，不能用来计算基本群．事实上也不存在对任何空间都有效的一般计算方法．因此基本群的计算就成为我们所面临的问题．许多有效的方法都是利用基本群的性质以及一些技巧，把所作计算转化为求较简单空间的基本群．当然，这些较简单空间的基本群必须会算．本节所讲的Sn的基本群就经常作为求其他空间基本群的基础．
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3.1 S1的基本群
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S1的基本群可以作为下章中的复叠空间理论的一个应用而得到．它在基本群的计算和应用中的地位是非常重要的，因此我们还是要先介绍一个比较初等的计算方法．
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把S1看作复平面上的单位圆，S1＝｛z∈C｜‖z‖＝1｝．取z0＝1∈S1作基点．
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设a是基点为z0的闭路，当t从0变到1时，a（t）从z0出发在S1上运动，并回到z0，就像一个赛跑运动员从跑道上的一点出发，最后跑回起点．首先，我们将规定a的“圈数”概念；然后再说明圈数就是判别闭路定端同伦的数量标志，由此得出π1（S1，z0）的结构．
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规定连续映射p：E′→S1为p（t）＝ei2πt，它在计算中起了关键性作用．p在局部上是同胚的：记Jt＝（t，t＋1），则p｜Jt：Jt→S1是嵌入映射．记pt＝p｜Jt：Jt→S1｛ei2πt｝，pt是同胚映射．并且（图4-9）．
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设X是一个拓扑空间，f：X→S1连续．X到E1的连续映射如果满足即左面的映射图表可交换，则称是f的一个提升．
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图4-9
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引理1 如果f不满，x1∈X，t1∈E1使得p（t1）＝f（x1），则存在f的提升使得
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图4-10
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证明 由于f不满，可取则f（X）⊂S1｛z｝．由于p（t1）＝f（x1）≠z，存在整数n，使得t1∈Jt＋n（图4-10）．规定
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这里it＋n：Jt＋n→E1是包含映射．于是
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