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引理2 设a是S1上的道路，t0∈E1使得p（t0）＝a（0），则存在a的唯一提升使得
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证明 存在性 取自然数m，将I等分成m个小区间：使得a｜Ii（i＝1，2，…，m）不满．利用引理1，顺次规定a｜Ii的提升使得∀i＝1，2，…，m-1．根据粘接引理，由各个并合成的映射是连续的，它是a的提升，并且
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唯一性 设都是a的提升．作∀t∈I，因此f（t）是整数．但f是连续的，I连通，因此它一定是常值函数．如果则f（0）＝0，从而f（t）＝0，∀t∈I，即∀t∈I．于是 ▎
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在唯一性部分的证明中我们已说明，同一道路a的两个提升与相差一个常数，因此或即是与提升的选择无关，完全由a决定的常数．如果a是基点为z0的闭路，就称这个常数为a的圈数，记作q（a），即
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这里是a的任一提升．q（a）是整数（因为和都是整数）．
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引理3 设a，b是S1上基点为z0的两条闭路，使得∀t∈I，a（t）≠－b（t），则q（a）＝q（b）．
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证明 取a和b的提升和，使得规定则f是I上的连续函数，f（0）＝0．如果q（a）≠q（b），不妨设q（a）＞q（b），则f（1）＝q（a）－q（b）是自然数，从而有t∈I，使得即于是与条件矛盾． ▎