打字猴:1.701043976e+09
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引理2 设a是S1上的道路,t0∈E1使得p(t0)=a(0),则存在a的唯一提升使得
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证明 存在性 取自然数m,将I等分成m个小区间:使得a|Ii(i=1,2,…,m)不满.利用引理1,顺次规定a|Ii的提升使得∀i=1,2,…,m-1.根据粘接引理,由各个并合成的映射是连续的,它是a的提升,并且
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唯一性 设都是a的提升.作∀t∈I,因此f(t)是整数.但f是连续的,I连通,因此它一定是常值函数.如果则f(0)=0,从而f(t)=0,∀t∈I,即∀t∈I.于是 ▎
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在唯一性部分的证明中我们已说明,同一道路a的两个提升与相差一个常数,因此或即是与提升的选择无关,完全由a决定的常数.如果a是基点为z0的闭路,就称这个常数为a的圈数,记作q(a),即
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这里是a的任一提升.q(a)是整数(因为和都是整数).
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引理3 设a,b是S1上基点为z0的两条闭路,使得∀t∈I,a(t)≠-b(t),则q(a)=q(b).
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证明 取a和b的提升和,使得规定则f是I上的连续函数,f(0)=0.如果q(a)≠q(b),不妨设q(a)>q(b),则f(1)=q(a)-q(b)是自然数,从而有t∈I,使得即于是与条件矛盾. ▎
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