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引理4 设a，b是S1上基点为z0的闭路，则
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证明 ．设记ht是H的t-切片，∀t∈I．由于H是一致连续的，存在δ＞0，使得｜t1－t2｜＜δ时，由引理3，于是q（ht）不依赖于t，q（a）＝q（h0）＝q（h1）＝q（b）．
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．作是a，b的提升，使得则因此是E1上有相同起终点的道路，从而 ▎
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定理4.3 π1（S1，z0）是自由循环群．
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证明 设α∈π1（S1，z0），规定q（α）＝q（a），a∈α，得到映射q：π1（S1，z0）→Z．
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设α＝〈a〉，β＝〈b〉．作a，b的提升和，使得则是ab的提升．它的起、终点为和于是
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这说明q保持运算，是同态．引理4说明q是单同态．
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记a0：I→S1为a0（t）＝ei2πt，显然q（a0）＝1，q（〈a0〉）＝1．对任何正整数因此q又是满同态，从而是同构．于是，π1（S1，z0）是由〈a0〉生成的自由循环群． ▎
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3.2 n≥2时，Sn单连通
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Sn（n≥2）是道路连通的，下面证明π1（Sn）平凡．