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唯一性 设都是a的提升．作∀t∈I，因此f（t）是整数．但f是连续的，I连通，因此它一定是常值函数．如果则f（0）＝0，从而f（t）＝0，∀t∈I，即∀t∈I．于是 ▎
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在唯一性部分的证明中我们已说明，同一道路a的两个提升与相差一个常数，因此或即是与提升的选择无关，完全由a决定的常数．如果a是基点为z0的闭路，就称这个常数为a的圈数，记作q（a），即
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这里是a的任一提升．q（a）是整数（因为和都是整数）．
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引理3 设a，b是S1上基点为z0的两条闭路，使得∀t∈I，a（t）≠－b（t），则q（a）＝q（b）．
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证明 取a和b的提升和，使得规定则f是I上的连续函数，f（0）＝0．如果q（a）≠q（b），不妨设q（a）＞q（b），则f（1）＝q（a）－q（b）是自然数，从而有t∈I，使得即于是与条件矛盾． ▎
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引理4 设a，b是S1上基点为z0的闭路，则
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证明 ．设记ht是H的t-切片，∀t∈I．由于H是一致连续的，存在δ＞0，使得｜t1－t2｜＜δ时，由引理3，于是q（ht）不依赖于t，q（a）＝q（h0）＝q（h1）＝q（b）．
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