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设是所有不在U1中的区间．于是就有∀i，a（Ii）⊂X2，且a（ti），作bi：Ii→X0，使得b（ti）＝a（ti），由于X2单连通，有（§2习题6）（图4-11）．作道路b：I→X为
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作H：I×I→X为
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则 ▎
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推论 若X是它的两个单连通开集X1，X2的并集，并且X1∩X2非空，道路连通，则X也单连通．
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证明 因为X1，X2单连通，所以它们都道路连通．又因为它们相交非空，所以它们的并集X也道路连通．
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根据命题4.11，∀x0∈X1∩X2，π1（X，x0）＝iπ（π1（X1，x0））是平凡群． ▎
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当n≥2时，取Sn上两点x1，x2．记Xi＝Sn｛xi｝（i＝1，2），则是单连通的，是道路连通的．用推论，得出Sn是单连通的．
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3.3 T2的基本群
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T2＝S1×S1．我们先证明关于乘积空间基本群的一个定理，用它求出T2的基本群．
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定理4.4 设x0∈X，y0∈Y，则
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（右边记号“×”表示群的直积．）
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证明 规定φ：π1（X×Y，（x0，y0））→π1（X，x0）×π1（Y，y0）为φ（γ）＝（（jx）π（γ），（jy）π（γ））， ∀γ∈π1（X×Y，（x0，y0）），其中jx和jy分别是X×Y到X和Y的投射．φ显然是同态．
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φ是满同态 ∀α＝〈a〉∈π1（X，x0），β＝〈b〉∈π1（Y，y0），作X×Y中的闭路c为c（t）＝（a（t），b（t）），则（jx）π（〈c〉）＝〈jxc〉＝〈a〉＝α；同样地（jy）π（〈c〉）＝〈b〉＝β．于是φ（〈c〉）＝（α，β）．
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φ是单同态 设φ（γ）＝1，c∈γ．于是记规定F：I×I→X×Y为F（s，t）＝（H（s，t），G（s，t））．容易验证（e为（x0，y0）处的点道路），因此γ＝〈c〉＝1． ▎
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应用此定理到T2上，得到
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