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对任何正整数n，有
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推论
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证明 基本群是拓扑不变量，而因此 ▎
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习 题
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1．设映射f：S1→S1规定为f（z）＝－z．试描述同态fπ：π1（S1，1）→π1（S1，－1）．
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2．设f：S1→S1规定为f（z）＝zn，n∈Z．试描述同态fπ：π1（S1，1）→π1（S1，1）．
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3．设f，g：（S1，1）→（Y，y0）都连续，且fπ＝gπ：π1（S1，1）→π1（Y，y0），证明
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4．设X由两个相切的圆周构成（图4-12），切点记作x0．Y是一拓扑空间．连续映射f，g：X→Y满足f（x0）＝g（x0）＝y0．证明如果fπ＝gπ：π1（X，x0）→π1（Y，y0），则
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图4-12
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5．证明平环的基本群是自由循环群．由此说明平环与D2不同胚．
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6．举例说明，命题4.11中X1∩X2道路连通的条件不可缺少．
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7．证明若x∈E2，U是x的邻域，则U｛x｝不单连通．
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基础拓扑学讲义 [:1701040220]
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§4 基本群的同伦不变性
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本节穿插着讲两方面的内容：拓扑空间的同伦等价和基本群的同伦不变性．前者介绍拓扑空间集合中的一种新的等价关系，并讨论各种常用情况，它们都是代数拓扑学的重要的基本概念；后者包括同伦的映射导出的基本群同态间的关系以及基本群的伦型不变性，它们在基本群的计算和应用中起了十分重要的作用．
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4.1 同伦的映射导出的基本群同态间的关系
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设于是f可以逐渐地变为g，那么基本群同态fπ也应该“逐渐地”变为gπ．也就是说fπ与gπ应该有着密切的联系．下面来探讨这种联系．
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取定x0∈X．记y0＝f（x0），y1＝g（x0）．一般来说y0≠y1，因此fπ和gπ是从π1（X，x0）分别到不同群π1（Y，y0）和π1（Y，y1）的两个同态．设由w（t）＝H（x0，t），t∈I，规定了Y中从y0到y1的道路w，称为H在x0处的踪．记ω＝〈w〉．由定理4.2知，有同构ω＃：π1（Y，y0）→π1（Y，y1）．
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定理4.5 gπ＝ω＃fπ：π1（X，x0）→π1（Y，y1），即图表可交换．