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（右边记号“×”表示群的直积．）
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证明 规定φ：π1（X×Y，（x0，y0））→π1（X，x0）×π1（Y，y0）为φ（γ）＝（（jx）π（γ），（jy）π（γ））， ∀γ∈π1（X×Y，（x0，y0）），其中jx和jy分别是X×Y到X和Y的投射．φ显然是同态．
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φ是满同态 ∀α＝〈a〉∈π1（X，x0），β＝〈b〉∈π1（Y，y0），作X×Y中的闭路c为c（t）＝（a（t），b（t）），则（jx）π（〈c〉）＝〈jxc〉＝〈a〉＝α；同样地（jy）π（〈c〉）＝〈b〉＝β．于是φ（〈c〉）＝（α，β）．
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φ是单同态 设φ（γ）＝1，c∈γ．于是记规定F：I×I→X×Y为F（s，t）＝（H（s，t），G（s，t））．容易验证（e为（x0，y0）处的点道路），因此γ＝〈c〉＝1． ▎
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应用此定理到T2上，得到
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对任何正整数n，有
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推论
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证明 基本群是拓扑不变量，而因此 ▎
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习 题
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1．设映射f：S1→S1规定为f（z）＝－z．试描述同态fπ：π1（S1，1）→π1（S1，－1）．
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2．设f：S1→S1规定为f（z）＝zn，n∈Z．试描述同态fπ：π1（S1，1）→π1（S1，1）．
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3．设f，g：（S1，1）→（Y，y0）都连续，且fπ＝gπ：π1（S1，1）→π1（Y，y0），证明
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4．设X由两个相切的圆周构成（图4-12），切点记作x0．Y是一拓扑空间．连续映射f，g：X→Y满足f（x0）＝g（x0）＝y0．证明如果fπ＝gπ：π1（X，x0）→π1（Y，y0），则
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图4-12
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5．证明平环的基本群是自由循环群．由此说明平环与D2不同胚．
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6．举例说明，命题4.11中X1∩X2道路连通的条件不可缺少．
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7．证明若x∈E2，U是x的邻域，则U｛x｝不单连通．
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