打字猴:1.701044076e+09
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1701044077 命题4.11 设X1,X2都是X的开集,其中X2是单连通的,并且X1∪X2=X,X1∩X2非空,道路连通.则有iπ:π1(X1,x0)→π1(X,x0)是满同态,这里i:X1→X是包含映射,x0∈X1.
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1701044079 证明 只须证明X上以x0为基点的任一闭路a定端同伦于X1上的闭路.记X0=X1∩X2.
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1701044082 记Ui=a-1(Xi),i=1,2.则{U1,U2}是I的开覆盖.记δ是它的Lebesgue数.取正整数等分I为小段.则每个小段包含在U1或U2中.如果分割点不在U1∩U2中,则它所在Ui必定包含与它连接的那两个小段.把这样的分割点去掉,得到I的一个新的分割,它的每个分割点都在U1∩U2中,每个小区间都包含在U1或U2中.
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1701044087 图4-11
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1701044094 设是所有不在U1中的区间.于是就有∀i,a(Ii)⊂X2,且a(ti),作bi:Ii→X0,使得b(ti)=a(ti),由于X2单连通,有(§2习题6)(图4-11).作道路b:I→X为
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1701044099 作H:I×I→X为
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1701044105 则 ▎
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1701044107 推论 若X是它的两个单连通开集X1,X2的并集,并且X1∩X2非空,道路连通,则X也单连通.
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1701044109 证明 因为X1,X2单连通,所以它们都道路连通.又因为它们相交非空,所以它们的并集X也道路连通.
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1701044111 根据命题4.11,∀x0∈X1∩X2,π1(X,x0)=iπ(π1(X1,x0))是平凡群. ▎
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1701044115 当n≥2时,取Sn上两点x1,x2.记Xi=Sn{xi}(i=1,2),则是单连通的,是道路连通的.用推论,得出Sn是单连通的.
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1701044117 3.3 T2的基本群
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1701044119 T2=S1×S1.我们先证明关于乘积空间基本群的一个定理,用它求出T2的基本群.
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1701044121 定理4.4 设x0∈X,y0∈Y,则
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