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命题4.11 设X1，X2都是X的开集，其中X2是单连通的，并且X1∪X2＝X，X1∩X2非空，道路连通．则有iπ：π1（X1，x0）→π1（X，x0）是满同态，这里i：X1→X是包含映射，x0∈X1．
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证明 只须证明X上以x0为基点的任一闭路a定端同伦于X1上的闭路．记X0＝X1∩X2．
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记Ui＝a-1（Xi），i＝1，2．则｛U1，U2｝是I的开覆盖．记δ是它的Lebesgue数．取正整数等分I为小段．则每个小段包含在U1或U2中．如果分割点不在U1∩U2中，则它所在Ui必定包含与它连接的那两个小段．把这样的分割点去掉，得到I的一个新的分割，它的每个分割点都在U1∩U2中，每个小区间都包含在U1或U2中．
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图4-11
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设是所有不在U1中的区间．于是就有∀i，a（Ii）⊂X2，且a（ti），作bi：Ii→X0，使得b（ti）＝a（ti），由于X2单连通，有（§2习题6）（图4-11）．作道路b：I→X为
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作H：I×I→X为
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则 ▎
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推论 若X是它的两个单连通开集X1，X2的并集，并且X1∩X2非空，道路连通，则X也单连通．
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证明 因为X1，X2单连通，所以它们都道路连通．又因为它们相交非空，所以它们的并集X也道路连通．
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根据命题4.11，∀x0∈X1∩X2，π1（X，x0）＝iπ（π1（X1，x0））是平凡群． ▎
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当n≥2时，取Sn上两点x1，x2．记Xi＝Sn｛xi｝（i＝1，2），则是单连通的，是道路连通的．用推论，得出Sn是单连通的．
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3.3 T2的基本群
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T2＝S1×S1．我们先证明关于乘积空间基本群的一个定理，用它求出T2的基本群．
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定理4.4 设x0∈X，y0∈Y，则
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