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不难验证（验证过程略），同伦等价是拓扑空间集合中的等价关系．并且，每个同胚映射f：X→Y都是同伦等价，因此但推不出也就是同伦等价是比同胚更广泛的等价关系．每个同伦等价类都由若干个同胚等价类所构成．
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同胚映射的逆是唯一的，而同伦等价（映射）的同伦逆却不是唯一的，它们构成一个映射类（本节习题3）．
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例1
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记r：E2→E1为r（x，y）＝x，i：E1→E2为i（x）＝（x，0），则规定H：E2×I→E2为H（x，y，t）＝（x，ty），则H是ir到id的一个同伦．
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显然因为E1去掉一点就不连通，E2则不然．
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例2 对任何拓扑空间X，
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记j：X×I→X是投射，i0：X→X×I为i0（x）＝（x，0），则（请自己构造同伦．）
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因为平环是S1×I，所以它与S1同伦等价．
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命题4.12 若f：X→Y是同伦等价，x0∈X，y0＝f（x0），则fπ：π1（X，x0）→π2（Y，y0）是同构．
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图4-14
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证明 设g是f的一个同伦逆．g（y0）＝x1（图4-14）．因为所以gπfπ＝（gf）π：π1（X，x0）→π1（X，x1）与idπ：π1（X，x0）→π1（X，x0）相差一个同构（定理4.5），而idπ是恒同同构，因此gπfπ是同构．从而fπ：π1（X，x0）→π1（Y，y0）是单同态，gπ：π1（Y，y0）→π1（X，x1）是满同态．再利用用同样方法推出gπ：π1（Y，y0）→π1（X，x1）是单同态．于是gπ是同构，从而fπ：π1（X，x0）→π1（Y，y0）也是同构． ▎
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作为直接的推论，有
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定理4.6 若且它们道路连通，则
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