1701044276
利用这定理，可把计算一个空间的基本群问题转化为求伦型相同而比较简单的空间的基本群．例如从平环和得到平环的基本群也是自由循环群．
1701044277
1701044278
1701044279
1701044280
根据这个定理，基本群还可用来判定空间不同伦等价．例如平环与D2不同伦等价，因为平环的基本群是自由循环群，而π1（D2）平凡；因为
1701044281
1701044282
4.3 形变收缩核
1701044283
1701044284
许多常见的空间同伦等价的例子直接或间接地和形变收缩核概念有关．
1701044285
1701044286
1701044287
1701044288
1701044289
定义4.9 设A是X的子空间，i：A→X是包含映射．如果存在收缩映射r：X→A（即ri＝idA：A→A），使得，就称A是X的一个形变收缩核．
1701044290
1701044291
1701044292
显然，r与i是一对互为同伦逆的同伦等价．因此
1701044293
1701044294
1701044295
设H是从idX到ir的一个同伦，则
1701044296
1701044297
H（x，0）＝x， ∀x∈X， （1）
1701044298
1701044299
H（x，1）∈A， ∀x∈X， （2）
1701044300
1701044301
H（a，1）＝a， ∀a∈A． （3）
1701044302
1701044303
定义4.9a 设A是X的子空间，连续映射H：X×I→X如果满足上述三个条件（1），（2），（3），就称H是X到A的一个形变收缩．
1701044304
1701044305
1701044306
1701044307
于是，当A是X的形变收缩核时，就存在从X到A的形变收缩．反之，当H是从X到A的形变收缩时，可规定收缩映射r：X→A，使得ir（x）＝H（x，1），则从而A是X的形变收缩核．因此，形变收缩核与形变收缩只是同一件事的两种不同定义方式，它们分别从空间和映射这两个不同角度作描述．
1701044308
1701044309
例3 把乘积空间X×I的子集Xs＝X×｛s｝称为它的s-切片．则每个s-切片都是X×I的形容收缩核．
1701044310
1701044311
1701044312
取定s0，则X×I到的一个形变收缩可规定为
1701044313
1701044314
H（x，s，t）＝（x，（1－t）s＋ts0）．
1701044315
1701044316
例4 Sn-1是En｛O｝的形变收缩核．形变收缩H可规定为
1701044317
1701044318
1701044319
1701044320
1701044321
1701044322
相应的收缩映射是由所规定的映射（图4-15）．
1701044323
1701044324
1701044325