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记r：E2→E1为r（x，y）＝x，i：E1→E2为i（x）＝（x，0），则规定H：E2×I→E2为H（x，y，t）＝（x，ty），则H是ir到id的一个同伦．
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显然因为E1去掉一点就不连通，E2则不然．
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例2 对任何拓扑空间X，
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记j：X×I→X是投射，i0：X→X×I为i0（x）＝（x，0），则（请自己构造同伦．）
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因为平环是S1×I，所以它与S1同伦等价．
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命题4.12 若f：X→Y是同伦等价，x0∈X，y0＝f（x0），则fπ：π1（X，x0）→π2（Y，y0）是同构．
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图4-14
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证明 设g是f的一个同伦逆．g（y0）＝x1（图4-14）．因为所以gπfπ＝（gf）π：π1（X，x0）→π1（X，x1）与idπ：π1（X，x0）→π1（X，x0）相差一个同构（定理4.5），而idπ是恒同同构，因此gπfπ是同构．从而fπ：π1（X，x0）→π1（Y，y0）是单同态，gπ：π1（Y，y0）→π1（X，x1）是满同态．再利用用同样方法推出gπ：π1（Y，y0）→π1（X，x1）是单同态．于是gπ是同构，从而fπ：π1（X，x0）→π1（Y，y0）也是同构． ▎
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作为直接的推论，有
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定理4.6 若且它们道路连通，则
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利用这定理，可把计算一个空间的基本群问题转化为求伦型相同而比较简单的空间的基本群．例如从平环和得到平环的基本群也是自由循环群．
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根据这个定理，基本群还可用来判定空间不同伦等价．例如平环与D2不同伦等价，因为平环的基本群是自由循环群，而π1（D2）平凡；因为
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4.3 形变收缩核
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许多常见的空间同伦等价的例子直接或间接地和形变收缩核概念有关．
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定义4.9 设A是X的子空间，i：A→X是包含映射．如果存在收缩映射r：X→A（即ri＝idA：A→A），使得，就称A是X的一个形变收缩核．
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