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证明 ∀〈a〉∈π1（X，x0），要验证gπ（〈a〉）＝ω＃（fπ（〈a〉）），即ω〈ga〉＝〈fa〉ω，或
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规定F：I×I→Y为F（s，t）＝H（a（s），t）（图4-13）．记b0，b1，c0和c1是I×I上的道路，规定为：bi（t）＝（t，i），ci（t）＝（i，t），i＝0，1．于是Fci＝w，i＝0，1；Fb0＝fa，Fb1＝ga．在凸集I×I上，道路c0b1与b0c1有相同的起、终点，从而此式两边都与F复合，得到 ▎
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图4-13
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定理4.5说明，当时，fπ与gπ相差一个同构．因此它们会具有许多共同的性质．例如当其中一个是单同态（或满同态，或同构）时，另一个也是．如果f零伦，则fπ是平凡同态．
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4.2 拓扑空间的同伦等价
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定义4.8 设X与Y为两个拓扑空间．如果存在连续映射f：X→Y和g：Y→X，使得
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则说X与Y是同伦等价的（或有相同的伦型），记作称f和g为同伦等价（映射）．称g是f的一个同伦逆，反之f也是g的同伦逆．
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不难验证（验证过程略），同伦等价是拓扑空间集合中的等价关系．并且，每个同胚映射f：X→Y都是同伦等价，因此但推不出也就是同伦等价是比同胚更广泛的等价关系．每个同伦等价类都由若干个同胚等价类所构成．
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同胚映射的逆是唯一的，而同伦等价（映射）的同伦逆却不是唯一的，它们构成一个映射类（本节习题3）．
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例1
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