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1701044363 X到A的一个形变收缩H如果保持A中的点不动,即形变收缩定义中的条件(3)改成
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1701044365       H(a,t)=a, ∀a∈A,t∈I,    (3′)
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1701044368 则称H是一个强形变收缩,称A是X的强形变收缩核.这时有于是,强形变收缩就是保持形变收缩核中的每一点不动的形变收缩.
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1701044370 上面几个例子中出现的都是强形变收缩(核).下面例中的形变收缩核不是强形变收缩核.
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1701044372 例7 设X是E2的篦形子集(见第二章§5例3),A⊂X是Y轴(图4-19).规定X到A的形变收缩H为
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1701044377 因此A是X的形变收缩核.但是不存在X到A的强形变收缩(请读者自己证明).
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1701044379 下面我们给出构造一个商空间的形变收缩的有用方法.
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1701044384 图4-19
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1701044388 命题4.13 设f:X→Y是商映射,A⊂X,B=f(A).如果H是X到A的(强)形变收缩,并且满足条件:当时,∀t∈I,则存在Y到B的(强)形变收缩.
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1701044393 证明 规定G:Y×I→Y为G(y,t)=f(H(x,t)),其中x∈f-1(y).H满足的条件保证了G是确定的,并且G(f×idI)=fH.(见右面图表)根据定理3.3,f×idI是商映射.fH是连续的,根据定理3.la,G连续.
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1701044398 ∀y∈Y,取x∈f-1(y),则G(y,0)=f(H(x,0))=f(x)=y;G(y,1)=f(H(x,1))∈f(A)=B.∀b∈B,取A中点a∈f-1(b),则G(b,1)=f(H(a,1))=f(a)=b.于是G是Y到B的形变收缩.如果H是强形变收缩,则G(b,t)=f(H(a,t))=f(a)=b,因此G也是强形变收缩. ▎
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1701044400 例8 拓扑锥CX以锥顶为强形变收缩核.
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1701044402 CX=X×I/X×{1},记f:X×I→CX是粘合映射.作X×I到X×{1}的强形变收缩H:(X×I)×I→X×I为
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1701044404 H(x,t,s)=(x,(1-s)t+s),
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1701044406 则H满足命题4.13的条件,从而H导出CX到锥顶f(X×{1})的强形变收缩.
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1701044408 例9 Möbius带以腰圆为强形变收缩核.
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