1701044412
1701044413
图4-20
1701044414
1701044415
1701044416
记X是Möbius带，它是矩形M粘合两侧边所得商空间．记f：M→X是商映射．设A是连结M的两侧边中点的线段，则f（A）是X的腰圆．记r：M→A是沿竖直方向把M压向A（图4-20）．则从idM到ir的直线同伦是X到A的一个强形变收缩，并且满足命题4.13的条件，从而导出X到腰圆的强形变收缩．
1701044417
1701044418
记x0是腰圆上一点，a是以x0为基点，并沿腰圆走一圈的闭路，则π1（X，x0）是由〈a〉生成的自由循环群．
1701044419
1701044420
例10 环面T2去掉一点后，以一个经圆和一个纬圆的并集为强形变收缩核（图4-21）．
1701044421
1701044422
1701044423
1701044424
1701044425
图4-21
1701044426
1701044427
设M为一矩形，O为M的一个内点，则M｛O｝粘接a和b后得到T2挖去一点．M的边界Γ是M｛O｝的强形变收缩核，任一强形变收缩导出T2去掉一点到Γ粘合而得的经圆和纬圆的强形变收缩．
1701044428
1701044429
1701044430
用同样方法可以说明，任何闭曲面去掉一点后，可强形变收缩为曲面上的一个圆束（即两两相交于同一点的一组圆周的并集）其中
1701044431
1701044432
1701044433
1701044434
1701044435
图4-22是双环面的情形．
1701044436
1701044437
1701044438
1701044439
1701044440
图4-22
1701044441
1701044442
4.4 可缩空间
1701044443
1701044444
可缩空间是伦型最简单的一类空间．
1701044445
1701044446
定义4.10 与单点空间同伦等价的拓扑空间称为可缩空间．
1701044447
1701044448
所有可缩空间构成一个空间的同伦等价类，它是最简单的一个等价类．可缩空间是道路连通的（见习题4），并且是单连通的．
1701044449
1701044450
命题4.14 如果X是可缩空间，则∀x∈X都是X的形变收缩核．
1701044451
1701044452
1701044453
证明 从X到｛x｝只有一个映射，记作r．因为X可缩，r是同伦等价．由于X道路连通，｛x｝到X的映射类只有一个，从而哪一个都是r的同伦逆（习题3）．于是包含映射i：｛x｝→X也是r的同伦逆，即这说明｛x｝是X的形变收缩核． ▎
1701044454
1701044455
欧氏空间En及En中的凸集都是可缩空间．CX也是可缩的，例7中的空间也是可缩的．下面给出两个直观上难以想象的可缩空间的例子．
1701044456
1701044457
例11 图4-23中的空间X是这样构造的：一个带上下底面的圆筒用一截面隔成上下两室，每一室再在另一室中开一出口（用与筒壁相切的小圆柱面做成）．很难直接看出X可形变收缩到它的某一点．但X确实是可缩的，因为它是实心圆柱体的形变收缩核．请读者构造一个从圆柱体到X的形变收缩．
1701044458
1701044459
1701044460
1701044461