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5．π0（X）表示空间X的道路分支的集合．证明若则π0（X）与π0（Y）之间可建立一一对应．
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6．若B是A的形变收缩核，A是X的形变收缩核，则B也是X的形变收缩核．
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7．若B⊂A⊂X，A是X的收缩核，B是X的形变收缩核，则B也是A的形变收缩核．
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8．若X1，X2是X的两个闭子集，X1∪X2＝X，又X0＝X1∩X2非空，且是X的形变收缩核．则X0也是X1和X2的形变收缩核．
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9．设Y是可缩空间．证明任何拓扑空间到Y只有一个映射类．
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10．设X是Möbius带，A是它的边界，x0∈A．证明包含映射i：A→X诱导的同态iπ：π1（A，x0）→π1（X，x0）不是同构．
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11．证明Möbius带的边界不是它的收缩核．
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12．设x0是Dn的边界Sn-1上一点．证明Sn-1｛x0｝是Dn｛x0｝的形变收缩核．
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13．证明下列各空间互相同伦等价：
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（1）球面S2加一条直径（图4-25（a））；
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（2）在环面的一个纬圆上粘接一个圆盘（图4-25（b））；
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（3）球面S2加一圆周S1（它们相切，图4-25（c））．
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图4-25
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14．证明
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15．证明
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16．设ι是E3中一条直线．证明π1（E3ι）是自由循环群．
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基础拓扑学讲义 [:1701040221]
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§5 基本群的计算与应用
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同伦不变性是计算基本群的有效工具．本节介绍计算基本群的另一个常用工具：Van-Kampen定理，它也能把复杂空间基本群的计算转化为较简单空间基本群的计算．本节还将介绍基本群的几个有代表性的应用．
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5.1 Van-Kampen定理
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Van-Kampen定理的叙述和证明都比较复杂，并涉及到较多的代数概念．许多文献中用母元与关系这种表示群的语言来叙述这个定理．本书中采用一种较容易接受的形式来表述．将要用到两个群的自由乘积的概念，读者可以在附录A中找到它的定义．定理的证明也不放在正文中，列为本书的附录B．附录B中还写出了用母元与关系这种语言来叙述Van-Kampen定理的方式．
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k个自由循环群的自由乘积②称作秩为k的有限生成自由群．在每个自由循环群中取定生成元，得元素组｛a1，a2，…，ak｝，则该有限生成自由群的每个元素都可唯一地用这组元素表出，因此把它称为由｛a1，…，ak｝自由生成的自由群，并记作F（a1，a2，…，ak）．
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易证F（a1，…，ak）*F（b1，…，bι）＝F（a1，…，ak，b1，…，bι）．
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