打字猴:1.701044505e+09

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1701044506 （1）球面S2加一条直径（图4-25（a））；

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1701044508 （2）在环面的一个纬圆上粘接一个圆盘（图4-25（b））；

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1701044510 （3）球面S2加一圆周S1（它们相切，图4-25（c））．

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1701044515 图4-25

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1701044518 14．证明

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1701044521 15．证明

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1701044523 16．设ι是E3中一条直线．证明π1（E3ι）是自由循环群．

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1701044525 基础拓扑学讲义 [:1701040221]

1701044526 §5　基本群的计算与应用

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1701044528 同伦不变性是计算基本群的有效工具．本节介绍计算基本群的另一个常用工具：Van-Kampen定理，它也能把复杂空间基本群的计算转化为较简单空间基本群的计算．本节还将介绍基本群的几个有代表性的应用．

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1701044530 5.1　Van-Kampen定理

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1701044532 Van-Kampen定理的叙述和证明都比较复杂，并涉及到较多的代数概念．许多文献中用母元与关系这种表示群的语言来叙述这个定理．本书中采用一种较容易接受的形式来表述．将要用到两个群的自由乘积的概念，读者可以在附录A中找到它的定义．定理的证明也不放在正文中，列为本书的附录B．附录B中还写出了用母元与关系这种语言来叙述Van-Kampen定理的方式．

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1701044534 k个自由循环群的自由乘积②称作秩为k的有限生成自由群．在每个自由循环群中取定生成元，得元素组｛a1，a2，…，ak｝，则该有限生成自由群的每个元素都可唯一地用这组元素表出，因此把它称为由｛a1，…，ak｝自由生成的自由群，并记作F（a1，a2，…，ak）．

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1701044536 易证F（a1，…，ak）*F（b1，…，bι）＝F（a1，…，ak，b1，…，bι）．

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1701044538 设A是群G的子集，把G中包含A的最小的子群称为由A生成的子群，记作〈A〉；把G中包含A的最小正规子群称为由A生成的正规子群，记作［A］．

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1701044540 现在叙述定理．

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1701044542 定理4.7（Van-Kampen定理）　如果拓扑空间X可分解为两个开集X1与X2之并，并且X0＝X1∩X2非空，道路连通．则∀x0∈X0，有

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