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如果记也是包含映射，则同态和决定唯一的同态φ：π1（X1，x0）*π1（X2，x0）→π1（X，x0）（习题1）．定理的结论可以明确地表述成：φ是满同态，并且Kerφ＝［｛（i1）π（α）（i2）π（α-1）｜α∈π1（X0，x0）｝］．这就给出了定理要证明的两个方面，其中φ是满同态的证明还不算太困难（习题2），麻烦的是另一部分．有兴趣的读者可以参看附录B，也可在参考书目［4］和［5］中找到证明．
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定理要求X1，X2都是开集，在许多情况下显得不方便．下面给出它的替代形式．
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定理4.7a 如果定理4.7中X1，X2都改为闭集，并且X0是它的一个开邻域的强形变收缩核，其他条件不变，则结论仍成立．
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对于不大熟悉代数的人，Van-Kampen定理的结论不大好理解，也不好应用．好在在本书中只在下列两种特殊的情形应用定理，对代数知识的依赖要少得多．
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（1）X0是单连通的，这时结论简化为
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（2）X2是单连通的，则
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特别当π1（X0，x0）有生成元组A时，［Im（i1）π］＝［（i1）π（A）］．
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5.2 Van-Kampen定理应用举例
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例1 圆束的基本群．
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图4-26
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设n＝2，则是X的闭子集，是某个开邻域U的强形变收缩核（图4-26）．用特殊情形（1），得到
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记ai是x0处沿走一圈的闭路，则
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一般地，在中，记ai是在各圆交点x0处沿走一圈的闭路，则
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