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π1（X1，x1）＝F（〈a〉，〈b〉），
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〈a〉，〈b〉分别是图4-27中所示闭路a，b在X1中的闭路类．取ω是X1中从x0到x1的道路类，则同构ω＃把〈d〉映为ω-1〈d〉ω＝〈a〉2〈b〉2．于是
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用同样办法计算任何闭曲面的基本群，得到
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下面介绍基本群的几个应用．
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5.3 完成闭曲面分类定理3.4的证明
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闭曲面分类定理3.4证明的剩下部分是要说明不同类型闭曲面不同胚，为此只须说明它们的基本群不同构．两个群的不同构并不很容易从它们的结构判定，但交换群的不同构比较容易判定．为此我们求闭曲面基本群的交换化．关于群的交换化的有关概念和性质可在附录A中找到．群G的交换化记作利用命题A.11和A.12可以算出③
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于是不同类型的闭曲面的基本群交换化以后不同构，因此基本群也不同构．分类定理证明完成．
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事实上，我们也证明了不同类型的闭曲面的伦型不相同．因此闭曲面的同伦分类与拓扑分类是一致的．
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5.4 Brouwer不动点定理2维情形的证明
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我们叙述这个著名定理，并用基本群为工具，完成2维情形的证明．高维的证明在第八章中完成．
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定理4.8（Brouwer不动点定理） 设f是n维实心球Dn到自身的连续映射，则存在x∈Dn，使得f（x）＝x．
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证明 用反证法．设f没有不动点，即f（x）≠x，∀x∈Dn．于是可以规定g：Dn→Sn-1为
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（图4-28）．则g连续，并且g0＝g｜Sn-1：Sn-1→Sn-1满足g0（x）≠－x，∀x∈Sn-1（请自己验证）．因此（§1例2）．因为g0＝gi，其中i：Sn-1→Dn是零伦的，所以g0是零伦的．于是推出：Sn-1→Sn-1是零伦的．（以上论证对维数n没有加特殊要求．）
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当n＝2时，从而导出的基本群的自同构不是平凡的；而常值映射导出平凡的基本群同态，因此不是零伦的．这个矛盾说明f一定有不动点． ▎
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