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图4-28
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5.5 代数基本定理的证明
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定理4.9（代数基本定理） 复数域上次数大于零的一元多项式有根．
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证明 用反证法．设n次复系数多项式在复平面上无根．于是a0≠0，否则0是根．不妨设an＝1．∀r＞0，规定fr：S1→S1为
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fr（z）＝P（rz）/‖P（rz）‖．
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则∀r，而f0（z）＝a0/‖a0‖，即f0是常值映射．于是fr零伦．但是不难证明当r→＋∞时，fr（z）→zn，从而当r充分大时，这里hn：S1→S1规定为hn（z）＝zn，它不是零伦的，因为（hn）π不是平凡同态．导出矛盾． ▎
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5.6 曲面上的边界点
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第三章已对曲面的边界点作了规定：曲面上的点称为边界点，如果它没有同胚于E2的开邻域．当然，它就有开邻域同胚于但是还有不明确的问题．
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首先，还没有证明现在来证明此论断．E2中去掉任意一点就不再单连通（同伦等价于S1），而上去掉有些点（确切地说：（x，0）（∀x∈E1）后仍是单连通的（实际上是可缩的），因此
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其次，直观上的边界点是不是就是现在意义的边界点？例如对于圆盘D2，S1上的点是边界点吗？这种点已有同胚于的开邻域，还会有同胚于E2的开邻域吗？
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命题4.15 设x是拓扑空间X的一点，V是x的一个开邻域，并有同胚映射使得f（x）＝0（原点），则x没有同胚于E2的开邻域．
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证明 用反证法．设x有开邻域g：U→E2是同胚映射．则中O的开邻域f（U∩V）同胚于E2中的开集g（U∩V）（图4-29）．
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图4-29
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取ε＞0，使得中的球形邻域B（O，ε）⊂f（U∩V）．则B（O，ε）与E2中某个开集W同胚，于是B（O，ε）｛O｝同胚于W去掉一点．后者不可缩（§3习题7），而B（O，ε）｛O｝是可缩的，矛盾． ▎
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习 题
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1．设G1，G2，H是三个群．fi：Gi→H是同态（i＝1，2）．证明存一唯一同态φ：G1*G2→H，使得φ｜Gi＝fi（i＝1，2）．
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2．设X1，X2是X的开集，X1∪X2＝X，X0＝X1∩X2非空，并且道路连通，x0∈X0．证明由（i1）π：π1（X1，x0）→π2（X，x0）和（i2）π：π1（X2，x0）→π1（X，x0）决定的同态φ：π1（X1，x0）*π1（X2，x0）→π1（X，x0）是满同态．
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