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图4-28
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5.5 代数基本定理的证明
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定理4.9(代数基本定理) 复数域上次数大于零的一元多项式有根.
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证明 用反证法.设n次复系数多项式在复平面上无根.于是a0≠0,否则0是根.不妨设an=1.∀r>0,规定fr:S1→S1为
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fr(z)=P(rz)/‖P(rz)‖.
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则∀r,而f0(z)=a0/‖a0‖,即f0是常值映射.于是fr零伦.但是不难证明当r→+∞时,fr(z)→zn,从而当r充分大时,这里hn:S1→S1规定为hn(z)=zn,它不是零伦的,因为(hn)π不是平凡同态.导出矛盾. ▎
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5.6 曲面上的边界点
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第三章已对曲面的边界点作了规定:曲面上的点称为边界点,如果它没有同胚于E2的开邻域.当然,它就有开邻域同胚于但是还有不明确的问题.
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首先,还没有证明现在来证明此论断.E2中去掉任意一点就不再单连通(同伦等价于S1),而上去掉有些点(确切地说:(x,0)(∀x∈E1)后仍是单连通的(实际上是可缩的),因此
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其次,直观上的边界点是不是就是现在意义的边界点?例如对于圆盘D2,S1上的点是边界点吗?这种点已有同胚于的开邻域,还会有同胚于E2的开邻域吗?
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命题4.15 设x是拓扑空间X的一点,V是x的一个开邻域,并有同胚映射使得f(x)=0(原点),则x没有同胚于E2的开邻域.
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证明 用反证法.设x有开邻域g:U→E2是同胚映射.则中O的开邻域f(U∩V)同胚于E2中的开集g(U∩V)(图4-29).
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图4-29
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取ε>0,使得中的球形邻域B(O,ε)⊂f(U∩V).则B(O,ε)与E2中某个开集W同胚,于是B(O,ε){O}同胚于W去掉一点.后者不可缩(§3习题7),而B(O,ε){O}是可缩的,矛盾. ▎
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习 题
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1.设G1,G2,H是三个群.fi:Gi→H是同态(i=1,2).证明存一唯一同态φ:G1*G2→H,使得φ|Gi=fi(i=1,2).
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2.设X1,X2是X的开集,X1∪X2=X,X0=X1∩X2非空,并且道路连通,x0∈X0.证明由(i1)π:π1(X1,x0)→π2(X,x0)和(i2)π:π1(X2,x0)→π1(X,x0)决定的同态φ:π1(X1,x0)*π1(X2,x0)→π1(X,x0)是满同态.
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