1701044705
1701044706
1701044707
1701044708
证明 用反证法．设x有开邻域g：U→E2是同胚映射．则中O的开邻域f（U∩V）同胚于E2中的开集g（U∩V）（图4-29）．
1701044709
1701044710
1701044711
1701044712
1701044713
图4-29
1701044714
1701044715
1701044716
取ε＞0，使得中的球形邻域B（O，ε）⊂f（U∩V）．则B（O，ε）与E2中某个开集W同胚，于是B（O，ε）｛O｝同胚于W去掉一点．后者不可缩（§3习题7），而B（O，ε）｛O｝是可缩的，矛盾． ▎
1701044717
1701044718
习 题
1701044719
1701044720
1．设G1，G2，H是三个群．fi：Gi→H是同态（i＝1，2）．证明存一唯一同态φ：G1*G2→H，使得φ｜Gi＝fi（i＝1，2）．
1701044721
1701044722
2．设X1，X2是X的开集，X1∪X2＝X，X0＝X1∩X2非空，并且道路连通，x0∈X0．证明由（i1）π：π1（X1，x0）→π2（X，x0）和（i2）π：π1（X2，x0）→π1（X，x0）决定的同态φ：π1（X1，x0）*π1（X2，x0）→π1（X，x0）是满同态．
1701044723
1701044724
3．证明n＞2时，En去掉有限个点后仍是单连通的．
1701044725
1701044726
4．求下列空间的基本群：
1701044727
1701044728
（1）E2中去掉3个点；
1701044729
1701044730
（2）S2中去掉3个点；
1701044731
1701044732
（3）T2上去掉3个点．
1701044733
1701044734
5．求下列空间的基本群：
1701044735
1701044736
（1）E3中去掉2条不相交直线；
1701044737
1701044738
（2）E3中去掉3条坐标轴；
1701044739
1701044740
（3）“田”字形．
1701044741
1701044742
6．把三角形的三条边按图4-30所示方式粘接在一起．求所得商空间的基本群．
1701044743
1701044744
7．证明：如果曲面M与N同胚，则它们的边界也同胚．并由此说明Möbius带与平环不同胚．
1701044745
1701044746
1701044747
1701044748
1701044749
图4-30
1701044750
1701044751
8．设f：D2→E2连续．证明在下列条件之一成立时，f有不动点：
1701044752
1701044753
（1）f（S1）⊂D2；
1701044754