1701044655
1701044656
证明 用反证法．设f没有不动点，即f（x）≠x，∀x∈Dn．于是可以规定g：Dn→Sn-1为
1701044657
1701044658
1701044659
1701044660
1701044661
1701044662
1701044663
1701044664
（图4-28）．则g连续，并且g0＝g｜Sn-1：Sn-1→Sn-1满足g0（x）≠－x，∀x∈Sn-1（请自己验证）．因此（§1例2）．因为g0＝gi，其中i：Sn-1→Dn是零伦的，所以g0是零伦的．于是推出：Sn-1→Sn-1是零伦的．（以上论证对维数n没有加特殊要求．）
1701044665
1701044666
1701044667
1701044668
1701044669
当n＝2时，从而导出的基本群的自同构不是平凡的；而常值映射导出平凡的基本群同态，因此不是零伦的．这个矛盾说明f一定有不动点． ▎
1701044670
1701044671
1701044672
1701044673
1701044674
图4-28
1701044675
1701044676
5.5 代数基本定理的证明
1701044677
1701044678
定理4.9（代数基本定理） 复数域上次数大于零的一元多项式有根．
1701044679
1701044680
1701044681
证明 用反证法．设n次复系数多项式在复平面上无根．于是a0≠0，否则0是根．不妨设an＝1．∀r＞0，规定fr：S1→S1为
1701044682
1701044683
fr（z）＝P（rz）/‖P（rz）‖．
1701044684
1701044685
1701044686
1701044687
1701044688
则∀r，而f0（z）＝a0/‖a0‖，即f0是常值映射．于是fr零伦．但是不难证明当r→＋∞时，fr（z）→zn，从而当r充分大时，这里hn：S1→S1规定为hn（z）＝zn，它不是零伦的，因为（hn）π不是平凡同态．导出矛盾． ▎
1701044689
1701044690
5.6 曲面上的边界点
1701044691
1701044692
1701044693
第三章已对曲面的边界点作了规定：曲面上的点称为边界点，如果它没有同胚于E2的开邻域．当然，它就有开邻域同胚于但是还有不明确的问题．
1701044694
1701044695
1701044696
1701044697
1701044698
首先，还没有证明现在来证明此论断．E2中去掉任意一点就不再单连通（同伦等价于S1），而上去掉有些点（确切地说：（x，0）（∀x∈E1）后仍是单连通的（实际上是可缩的），因此
1701044699
1701044700
1701044701
其次，直观上的边界点是不是就是现在意义的边界点？例如对于圆盘D2，S1上的点是边界点吗？这种点已有同胚于的开邻域，还会有同胚于E2的开邻域吗？
1701044702
1701044703
1701044704
命题4.15 设x是拓扑空间X的一点，V是x的一个开邻域，并有同胚映射使得f（x）＝0（原点），则x没有同胚于E2的开邻域．