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证明 设F（｛x｝×［t0，t1］⊂基本邻域U，则因此有的开邻域V，使得p｜V：V→U是同胚．根据第二章§3中的引理和在x连续的假定，存在x的邻域W，使得并且F（W×［t0，t1］）⊂U（图5-9）．于是∀x′∈W，
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并且连通，因此一定包含在V中．这样从而是连续的．引理证毕．
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回到定理的证明．｛F-1（U）｜U⊂B是基本邻域｝是X×I的开覆盖．于是，∀x∈X，存在正整数n，将I等分为n个小区间I1，I2，…，In，则∀l，F（｛x｝×Il）包含于某个基本邻域．依次对｛x｝×I1，…，｛x｝×In用引理（注意在x连续，由连续得到在x连续），得到在｛x｝×I的一个邻域上连续．由x的任意性，得到连续． ▎
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图5-9
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命题5.3的证明
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设H：I×I→B是a到b的定端同伦．根据同伦提升定理，存在H的提升使得因为H｜｛i｝×I（i＝0，1）是常值映射，所以也是常值映射（§1习题12）．记是由规定的道路，则也是b的提升，并且由提升唯一性得到于是 ▎
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2.2 映射提升定理
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定理5.3（映射提升定理） 设X是道路连通、局部道路连通的空间，f：X→B连续，x0∈X，b0＝f（x0），e0∈p-1（b0）．则存在f的提升使得
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