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12．设p：E→B是复叠映射，X连通．证明从X到B的常值映射的提升也一定是常值映射．
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13．设p：E→B是复叠映射，U是B的道路连通子集，V是p-1（U）的一个道路分支．证明p（V）＝U．
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14．设p：E→B是复叠映射，V是E的道路连通开子集，U＝p（V）．如果包含映射i：U→B诱导的基本群同态iπ：π1（U）→π1（B）是平凡的，则p｜V：V→U是同胚映射．
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15．拓扑空间X的子集A称为半单连通子集，如果A道路连通，并且包含映射诱导的基本群同态iπ：π1（A）→π1（X）是平凡的．证明复叠空间的底空间的半单连通的开子集一定是基本邻域．
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16．如果拓扑空间X的每一点都有半单连通的邻域，就说X是局部半单连通的．证明当底空间B是局部半单连通时，复叠空间E也是局部半单连通的．
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17．设都是复叠映射，并且B是局部半单连通的，则也是复叠映射．
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18．设都是复叠映射，并且p是有限叶的，证明也是复叠映射．
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19．设p：E→B是复叠映射，b∈B，e∈p-1（b）．a和a′都是B中从b到b1的道路，和分别是a和a′的以e为起点的提升．证明
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基础拓扑学讲义 [:1701040225]
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§2 两个提升定理
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本节讲两个重要的提升定理：同伦提升定理和映射提升定理，并介绍它们的一些应用．前一定理的一个应用是命题5.3，现在将补充其证明．本节中假定p：E→B是复叠映射．
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2.1 同伦提升定理
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定理5.2（同伦提升定理） 设和F：X×I→B都连续，并且满足则存在F的提升使得
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证明 ∀x∈X，记zx是F在x处的踪（见第四章§4），它是B上由zx＝F（x，t）决定的道路．由命题5.2，zx有唯一以为起点的提升，记作规定为则只须再验证的连续性．为此先证一个引理．
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引理 若F（｛x｝×［t0，t1］）在某个基本邻域中，并且的t0-切片在x连续，则存在x的邻域W，使得连续．