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根据命题5.3，与有相同的终点，即
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其次证明的连续性．∀x∈X，设V是的邻域，不妨设p（V）是基本邻域，并且p｜V∶V→U是同胚．因为f-1（U）是x的开邻域，且X是局部道路连通的，所以可找到x的道路连通的邻域W，使得f（W）⊂U．∀x′∈W，取v是W中从x到x′的道路，记它是fv的以为起点的提升．记w是从x0到x的道路，是fw的以e0为起点的提升，则wv从x0到x′，是fwv的提升．由的定义，这就证明了在x连续． ▎
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例1 设p∶Sn→Pn是上节例2规定的复叠映射（n≥2），f∶Pn→Pn是连续映射，则存在连续映射使得即右边的映射图表交换．理由如下：
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考察映射fp∶Sn→Pn，因为Sn是单连通的，所以fp满足定理5.3的充要条件，从而存在它的提升即有连续映射Sn→Sn，使得由于p∶Sn→Pn是两叶的，这样的有两个．
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例2 设n≥2，则Sn到S1只有一个映射类．
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设f和g都是从Sn到S1的连续映射，设p∶E1→S1为p（t）＝ei2πt．因为Sn是单连通的，根据定理5.3，存在f和g关于p的提升和由于E1是凸集，从而
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例3 证明P2到S1的每个连续映射都零伦．
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