1701045255
1701045256
1701045257
1701045258
1701045259
1701045260
1701045261
1701045262
1701045263
1701045264
1701045265
考察映射fp∶Sn→Pn，因为Sn是单连通的，所以fp满足定理5.3的充要条件，从而存在它的提升即有连续映射Sn→Sn，使得由于p∶Sn→Pn是两叶的，这样的有两个．
1701045266
1701045267
例2 设n≥2，则Sn到S1只有一个映射类．
1701045268
1701045269
1701045270
1701045271
1701045272
设f和g都是从Sn到S1的连续映射，设p∶E1→S1为p（t）＝ei2πt．因为Sn是单连通的，根据定理5.3，存在f和g关于p的提升和由于E1是凸集，从而
1701045273
1701045274
1701045275
1701045276
1701045277
例3 证明P2到S1的每个连续映射都零伦．
1701045278
1701045279
1701045280
1701045281
1701045282
设f∶P2→S1连续，导出fπ∶π1（P2）→π1（S1）．因为没有2阶元素，所以Imfπ是π1（S1）的平凡子群．因而f满足定理5.3的条件，有提升是零伦的，因此f也零伦．
1701045283
1701045284
2.3 复叠空间的分类
1701045285
1701045286
1701045287
现在考察底空间相同的诸复叠空间之间的关系．设（E1，p1）和（E2，p2）都是B上的复叠空间．如果一个连续映射h∶E1→E2满足p2h＝p1（即h是p1关于p2∶E2→B的一个提升），则称h是（E1，p1）到（E2，p2）的同态．如果同态h是一个同胚映射，则称为同构．当从（E1，p1）到（E2，p2）有同构时，就称它们是等价的．
1701045288
1701045289
取b∈B．§1中已说明，当p∶E→B是复叠映射时，｛He＝pπ（π1（E，e））｜e∈p-1（b）｝是π1（B，b）的一个子群共轭类．
1701045290
1701045291
1701045292
命题5.7 设（Ei，pi）是B上的复叠空间（i＝1，2），b∈B．则（E1，p1）与（E2，p2）等价它们决定π1（B，b）的同一个子群共轭类．
1701045293
1701045294
1701045295
1701045296
证明 ．设h∶E1→E2是同构．取e2＝h（e1），则
1701045297
1701045298
1701045299
（p1）π（π1（E1，e1））＝（p2）πhπ（π1（E1，e1））＝（p2）π（π1（E2，e2））．于是（E1，p1）和（E2，p2）所决定的子群共轭类都是（p1）π（π1（E1，e1））所在的那个共轭类．
1701045300
1701045301
1701045302
1701045303
1701045304