1701045305
1701045306
1701045307
．取使得（p1）π（π1（E1，e1））＝（p2）π（π1（E2，p2））．则由定理5.3，得到同态h∶E1→E2和k∶E2→E1，使得h（e1）＝e2，k（e2）＝e1．于是，kh∶E1→E1是E1的自同态，满足kh（e1）＝e1．而id∶E1→E1也是满足id（e1）＝e1的自同态．根据提升唯一性定理，kh＝id．同理hk也是恒同映射．因此h是同胚，（E1，p1）与（E2，p2）等价． ▎
1701045308
1701045309
习 题
1701045310
1701045311
1．设p∶E→B是复叠映射，X连通．设f∶X→B是零伦的连续映射，证明f有提升，并且每个提升都是零伦的．
1701045312
1701045313
2．设p∶E→B是复叠映射，U是B的道路连通开集，并且包含映射i∶U→B导出的基本群同态iπ∶π1（U）→π1（B）是平凡的，则U是基本邻域．
1701045314
1701045315
3．设f∶S2→T2连续，证明f零伦．
1701045316
1701045317
4．证明P2到T2只有一个映射类．
1701045318
1701045319
5．设pi∶Ei→B是复叠映射（i＝1，2），并且有（E1，p1）到（E2，p2）的同态h∶E1→E2，证明h是复叠映射．
1701045320
1701045321
基础拓扑学讲义 [:1701040226]
1701045322
§3 复叠变换与正则复叠空间
1701045323
1701045324
本节介绍一类常见的复叠空间——正则复叠空间，及其特殊情形泛复叠空间．复叠变换虽然并不是正则复叠空间的特有概念，但只对正则复叠空间才显出它的用处．
1701045325
1701045326
3.1 复叠变换
1701045327
1701045328
1701045329
定义5.2 设p∶E→B是一个复叠映射，E的一个自同胚h∶E→E如果满足ph＝p，就称为（E，p）的一个复叠变换（或称升腾）．
1701045330
1701045331
1701045332
按上节的术语，复叠变换也就是（E，p）的自同构．条件ph＝p就是说h是p的提升．
1701045333
1701045334
1701045335
显然，id∶E→E是复叠变换；复叠变换的逆也是复叠变换，复叠变换的乘积（复合）也是复叠变换．于是，全体复叠变换在乘积运算下构成群，称为（E，p）的复叠变换群，记作（E，p）．
1701045336
1701045337
1701045338
（E，p）中有多少元素？为了考察此问题，取定e∈E，记b＝p（e）．则每个复叠变换h把e变为p-1（b）中的点．根据提升唯一性，当h≠h′时，h（e）≠h′（e）．
1701045339
1701045340
1701045341
1701045342
命题5.8 设e′∈p-1（b），则存在h∈（E，p）使得h（e）＝e′的充要条件是
1701045343
1701045344
证明 必要性 设有h使h（e）＝e′，则
1701045345
1701045346
1701045347
1701045348
1701045349
1701045350
1701045351
1701045352
1701045353
1701045354